环面纽结

拖 p 和 q：线缠在圆环面上，绕着它的轴走 p 圈，绕着管子走 q 圈。p 和 q 除了 1 没有别的公因数时，它是一条闭合的线，一个结：p 或 q 是 1 时其实没打结，p = 2、q = 3 是三叶结。角上数的交叉，是沿着圆环面的轴从上方看下去的那一张图上的，有 q(p − 1) 个（画面是斜着看、还在转，不一定数得出这个数）；村杉邦男在 1991 年证明，这个结不管怎么画，交叉都不会少于 min(p(q − 1), q(p − 1)) 个。p 不大于 q 时，从上方看到的已经是最少的；p 比 q 大时，多出来的交叉换一种画法就能去掉：T(p, q) 和 T(q, p) 是同一个结。p 和 q 有大于 1 的公因数时，线接不成一整条，而是几个各自闭合的圈：最大公因数是 d，就是 d 个圈，各染一种颜色，每个圈都是 T(p/d, q/d)，每两个圈扣了 pq/d² 次，角上沿着圈算高斯积分。