射影がとれる割合

射影の割合とは、射影が全体のうちどれだけを残すかで、q × q の行列なら、残す方向の数を q で割ったものになる。左の枠では、横軸が θ、縦軸が割合で、どの直線も mθ + n である（m と n は整数）。描いてあるのは多くて m が −6 から 6 までの族で、−3 から 3 までは m ごとに色分けされ、色は蝶のギャップと同じだ。珊瑚色の縦線は選んだ θ を表す。縦線の上の点は、0 以上 1 未満に入る mθ + n の値で、m の絶対値はスライダーの値までとる。6 を超えると、点は描いた直線より多くなる。この高さに 1 を加えたものが、この非可換な代数で射影がとれる割合である。右の数直線はそれを並べ、すき間を長さで色分けする。θ と m がいくつでも、すき間の長さは多くて三種類である。θ を 0.4 にして |m| を 3 以上にすると、縦線の上の点は 0、0.2、0.4、0.6、0.8 の五つだけになり、それ以上大きくしても増えず、右下に ONLY 5 VALUES と出る。θ = 2/5 のとき、この代数は 5 × 5 の行列と同じようにふるまい、割合は k/5 にしかならない。0.35、つまり 7/20 にすると、|m| が 10 に達したところで値は 20 個になり、点が重なりはじめる。スライダーのほかの値の多くは分母が数百から数千あり、|m| を 60 まで上げても重ならない。「黄金比の逆数」を選ぶと θ は無理数になり、点は一つも重ならず、|m| を大きくするほど密になって、いちばん狭いすき間も段階的に小さくなっていく。割合は 0 と 1 のあいだの無理数にもなりうる。m = −1 のものが 1 − θ ≈ 0.382 である。