份额能取的值

投影的份额，是它保留的那一部分占多少：对 q × q 的矩阵，就是保留的方向数除以 q。左边的方框里，横轴是 θ，竖轴是份额，每一条直线是 mθ + n（m、n 是整数），画出来的最多是 m 在 −6 到 6 之间的几族，−3 到 3 的按 m 上色，颜色和蝴蝶上能隙的一样。珊瑚色的竖线是选中的 θ：竖线上的点是 mθ + n 落在 0 到 1 之间（不含 1）的值，m 的绝对值一直取到滑块，滑块过了 6，点就比画出来的直线多。这些高度，再加上 1，就是这个不交换的代数里投影能取的份额；右边的数轴把它们排出来，空隙按长短上色，不管 θ 和 m 取多少，空隙至多三种长度。θ 停在 0.4，把 |m| 拉到 3 以上，竖线上就只有 0、0.2、0.4、0.6、0.8 五个点，再大也不变，右下角写「只有 5 个值」：θ = 2/5 时，这个代数很像 5 × 5 的矩阵，份额只能是 k/5。换成 0.35，也就是 7/20，|m| 拉到 10，就只剩 20 个值，点开始重合；滑块上别的值，分母大多是几百、几千，|m| 拉满 60 也还不重合。选「黄金比的倒数」，θ 是无理数，点一个也不重合，|m| 越大越密，最小的间隔一阵一阵地缩小：份额可以是 0 和 1 之间的无理数，m = −1 的那一个就是 1 − θ ≈ 0.382。