Topology

序幕

1. 0:00这些圆一直在变，有个数一动不动。

I只有一面

1. 0:08一张纸条，有几面？
2. 0:11粘成一圈，是两面；扭半圈再粘上呢？
3. 0:15从一处开始刷颜料，不越过边，一直往前刷。
4. 0:19刷完一圈，颜料到了出发处的背面；
5. 0:23再刷一圈就满了：它只有一面。
6. 0:26不撕开、不粘连，怎么变形都还是一面。
7. 0:30拓扑关心的就是这种变不了的东西。
8. 0:34不扭，或者扭一整圈，纸条都有两面、两条边。
9. 0:39可放在空间里看，这两种纸条不一样：扭一整圈的那条，两条边扣在了一起。
10. 0:46扭半圈、扭一圈半，都只有一面、一条边。有几面，就看扭了几个半圈：单数还是双数。
11. 0:55扭一圈半的那条，唯一的边还打了个结。
12. 1:00沿着正中间剪一圈，会剪成两条吗？
13. 1:03剪完还是一整条，只是比原来长一倍；
14. 1:07而且这一条有两面、两条边了。
15. 1:10另一条在离边三分之一宽的地方剪：要剪两圈，才回到起点。
16. 1:16这回剪出两条：细的只有一面，长的有两面，两条还扣在一起。
17. 1:23两条只有一面的带子沿着边缝起来，就是克莱因瓶。
18. 1:28它没有边，放进我们的空间，只能穿过自己。
19. 1:32颜料刷到交线时，接着沿原来那片表面往前刷，照样能把它刷满：它也分不出里外。

II数出来的 2

1. 1:42多面体有几个顶点、几条棱、几个面？
2. 1:46四面体是四、六、四；
3. 1:49立方体是八、十二、六，三个数都变了。
4. 1:54可三个形状，顶点数减棱数、再加面数，都是 2。
5. 1:59把每个三角形分成四个，再推到球面上。
6. 2:03顶点、棱、面都多了好几倍，可减减加加，还是 2。
7. 2:09分到上千块，像个球了，还是 2；
8. 2:12再捏歪、拉长，这个数也不变：它只看有几个洞。
9. 2:18换成一个甜甜圈，在上面画格子：
10. 2:21这回顶点减棱加面，是 0。
11. 2:24格子画得再密，还是 0；
12. 2:27每格添一条对角线，也一样。
13. 2:31换成两个洞的，数出来是 −2。
14. 2:36三个洞的，是 −4。每多一个像甜甜圈那样穿透的洞，这个数就少 2。
15. 2:43对于分得出里外的闭合曲面，这个数就是 2 减两倍的洞数。

III梳不平的球

1. 2:51球上的毛，能梳得处处服帖吗？
2. 2:54往北梳，毛从南极散开、到北极聚拢：两极都梳不平。
3. 3:01绕着北极走一小圈，看毛的方向转了几圈：
4. 3:05顺着走的方向转了一圈，记作加一。南极也是加一。
5. 3:11换个梳法，把毛往一侧拨，梳成旋涡，再梳成螺旋。
6. 3:16梳不平的两处还在，各自的圈数也还是加一。
7. 3:23再换一种梳法，梳不平的只剩北极一处；
8. 3:27绕它一圈，方向转了两圈，记作加二。
9. 3:31梳不平的地方可以挪，也可以散开：这一处散成了四处，
10. 3:37三处加一，一处减一：那一处的方向是反着转的。
11. 3:42可圈数加起来，永远是 2；处处都梳平的话，就加不出这个 2。
12. 3:48为什么偏偏是 2？
13. 3:50让毛从面心散开，到顶点聚拢：
14. 3:54每个顶点和面心记加一，每条棱中点记减一，
15. 3:59加起来，正好是上一章的那个 2。
16. 4:02甜甜圈的毛往上梳，四个地方梳不平：
17. 4:06两处加一，两处减一，和是 0。
18. 4:10换个梳法，让加一和减一两两靠拢，互相抵消，
19. 4:16甜甜圈梳平了。
20. 4:17前面数的，都在面上；接下来数的，要从外面看。

IV扣在一起

1. 4:25两个圈扣了几次？
2. 4:26每个交叉看上下和走向，记加一或减一，再加起来取一半。
3. 4:33这两个圈扣了一次；晃一晃，只要线不穿过线，就还是一次。
4. 4:39再看一对互相绕了两圈的。
5. 4:42这一对扣了两次。
6. 4:45绳圈打没打结，也能数出来。
7. 4:48涂上三种颜色：只在从下面穿过的地方换色；
8. 4:52每个交叉处，要么只有一种颜色，要么三种都有。
9. 4:58涂法一共九种，怎么拉、怎么弯，还是九种。
10. 5:03没打结的圈，画得再乱，也只有三种。
11. 5:06多出来的六种，证明那个结怎么拉也解不开。
12. 5:11这三个环，任意两个之间都没扣上，数出来都是 0。
13. 5:16可三个放在一起，拆不开。
14. 5:18剪断其中任意一个，另外两个就能分开。
15. 5:22数出来是 0，不等于没缠在一起：有些缠绕，只两个两个地数，是数不出来的。

V由圆组成的球

1. 5:32球面能拆成不相交的圆吗？平常的不行。
2. 5:36从北极投下来，过北极的圆成了直线。
3. 5:40可四维空间里的球面，就拆得开。
4. 5:43它叫三维球面，也只能像刚才那样投下来看：右上角小球上的每一点，对应一个圆。
5. 5:51六个点，对应六个圆。任意挑两个，都扣在一起，而且只扣一次。
6. 5:59小球上一条纬线上的每个点，都对应一个圆；这些圆排成一个甜甜圈，每个圆都在上面斜着绕一圈。
7. 6:08把纬线往南移，细细的甜甜圈一点点变宽、变厚。
8. 6:15三维球面上的每一点，都恰好落在一个圆上；这里只画了一些。
9. 6:21小球两极对应的圆，一个投成最里面的圆环，一个投成直线。
10. 6:26不在同一层上的两个圆，也扣在一起，同样只扣一次。
11. 6:33把这个三维球面在四维里转一转。
12. 6:36投出来的圆跟着流动、变形，有的伸到了画面外面，
13. 6:41又收回来，它们始终是圆，每两个只扣一次。
14. 6:46这就是开头那一幅：圆一直在变，扣的次数一动不动。

尾声

1. 6:53这条纸条，只有一面；
2. 6:55这个球，顶点减棱加面是 2；梳不平的地方，圈数加起来也是 2；
3. 7:02这两个圈，扣了一次。
4. 7:04这些整数记下的，是形状怎么变都抹不掉的那一部分。