Curvature

序幕

1. 0:00球捏得再凹凸，总曲率还是这个数。

I一条线有多弯

1. 0:09一条线弯得有多厉害，怎么量？
2. 0:12在这个椭圆上，每一点都有一个圆，和它贴得最紧。
3. 0:17弯得急，这个圆就小；弯得缓，圆就大。
4. 0:22这个圆半径的倒数，就是这一点的曲率。
5. 0:25把每一点的圆心都留下来，连成一颗四个尖的星。
6. 0:29每到长轴、短轴的两头，弯得最急或最缓；圆心在这里掉头，留下一个尖。
7. 0:37把曲率画成一根根刺：弯得越急，刺越长。
8. 0:42顺着箭头，左拐算正，右拐算负。
9. 0:46走到腰上，刺缩到零，再翻到另一边：曲率变成负的。
10. 0:53把垂线都画出来，挤得最密的地方，亮出一颗星。
11. 0:57这颗星有几个尖，线上就有几处比两边都弯，或者都平：这个蛋，四处。
12. 1:05这个三角，六处。
13. 1:08这个方形，八处。
14. 1:10任何不自交的闭合曲线，都至少四处。
15. 1:14沿着线走，同样长的一段，越弯，方向转得越多。
16. 1:19一整圈，记作 2π。
17. 1:218 字先往右、再往左，正负相抵。
18. 1:25总共是零。
19. 1:27带一个内圈的，绕两圈。
20. 1:30沿闭合的线走一圈，总是整数圈。开头那个球，也是这样。

II高斯曲率

1. 1:38一张面在一点上，弯了多少？
2. 1:41竖着切下去，每个方向切出的线，各弯各的。
3. 1:45带正负的弯，有一个最大、一个最小，叫主曲率。
4. 1:50外侧两个同号，像球；内侧一正一负，像马鞍。
5. 1:56两个主曲率乘起来，叫高斯曲率。
6. 1:59正的涂暖色，负的涂冷色。
7. 2:02顶上这一圈，沿圈方向的曲率是零。
8. 2:06甜甜圈外面像球，里面像马鞍。
9. 2:11在面上画个小圈，把圈上每一点向外的方向，搬到球上。
10. 2:16用球上围出的面积，除以面上小圈的面积。
11. 2:20小圈越缩越小，这个比值就越接近这一点的高斯曲率。
12. 2:25到了马鞍那边，球上的圈反着绕，所以是负的。
13. 2:31平的纸，高斯曲率是零；卷成圆柱，不拉不挤，顺着轴不弯，乘起来还是零。
14. 2:39要不起皱地贴到球上，纸上的长度非变不可。
15. 2:44高斯证明了高斯曲率只看面上的长度：只要不拉不挤，怎么弯都不变。

III肥皂膜

1. 2:53两个圈之间的肥皂膜，为什么是这个形状？
2. 2:57膜总想把面积缩到最小，所以不是直筒，而是收着腰。
3. 3:02这种形状，叫悬链面。
4. 3:05看膜上任何一点，往两个方向竖着切。
5. 3:09沿着轴，它弯向膜外；绕着轴，它弯向轴那边，弯得正好一样多。
6. 3:15一正一负，正好相抵。膜上每一点都这样，整张膜才停得住。
7. 3:22把两个圈慢慢拉开，腰越收越细。
8. 3:26面积已经超过两片圆盘，膜却还撑着：稍微变个形，面积反而更大。
9. 3:33膜断开了，再远，就没有收腰的形状了。
10. 3:37换一张这样的面，沿一条线剪开。
11. 3:40它能不拉不挤，一点点拧成一道螺旋楼梯，再拧回来。
12. 3:45拧的每一刻，长度都没变，两个弯也始终相抵。
13. 3:50悬链面和螺旋面，是同一张面的两种弯法。

IV测地线

1. 3:57在一个弯的面上，怎么走才算直？
2. 4:00一直往前，不往左也不往右拐，走出的路叫测地线。
3. 4:06在球上，它们是大圆：走到半圈，又在对面聚到一起。
4. 4:11球处处往里弯，把它们弯了回来。
5. 4:15两座城之间最短的路，一定是测地线：在球上，就是较短的那段大圆弧。
6. 4:22同在北纬四十五度：沿纬线走，绕远了；大圆往北拱起，反倒短了将近两成。
7. 4:30所以跨洋的航线，常往高纬度拱起。
8. 4:34把球往三个方向，拉成不一样长。
9. 4:37从一点出发的直路，不再聚到同一点；相邻的路挤在一起，亮出一颗四个尖的星。
10. 4:45将近两百年前，雅可比就说它总有四个尖；直到 2004 年，才被证明。

V总曲率

1. 4:54不离开这张面，能不能知道它弯了？
2. 4:57用直路画一个三角形，看三个角。
3. 5:01平面上加起来是 π，也就是一百八十度；球上总要多一些。
4. 5:06多出来的，正是它围住的曲率：在这个球上，就是面积。
5. 5:12还有一种量法：一支箭头贴着球面，沿三角形走一圈，一路不让它转。
6. 5:19沿着每条直路，它和路的夹角始终不变。
7. 5:26回到起点，它却偏了一个直角：偏的正是三角形围住的曲率。
8. 5:32把整张面上的曲率，按面积一小块一小块合起来。
9. 5:38一个球是 4π，把它捏出包和坑，有的成了马鞍。
10. 5:43还是 4π，就是开头那个数。
11. 5:46为什么总是 4π？把向外的方向搬到旁边的球上：正反相抵，恰好一层。
12. 5:53一个甜甜圈呢？
13. 5:55外面一半像球，向外的方向铺满一层，是 4π。
14. 6:00里面一半像马鞍，反着再铺一层，就是负的 4π。
15. 6:04合起来，正好是零。整张闭合的面，总数只看有几个洞。

尾声

1. 6:11曲率在每一处，各不相同。
2. 6:14加起来，却有它的秩序：一条闭合的线，总是整数圈；
3. 6:20一个球，总是 4π；
4. 6:22一个甜甜圈，是零。
5. 6:24这份秩序不看外形，只看绕了几圈、有几个洞。