任何连续的曲线

抛 n 次硬币，每次正面的机会是 x，恰好 k 次正面的概率是一份权重。冰蓝的柱子是 x 这一处的 n + 1 份权重（n 很大时几根并成一根），加起来是 1，挤在 k/n = x 附近；曲线上 k/n 处的点按权重亮起来，金点是加权平均。每一个 x 都这样平均一次，连起来就是金线，伯恩斯坦多项式。拖「在哪个 x 上看权重」，柱子跟着走；把 n 往大拖，柱子越来越集中，金线越来越贴。n 大了以后，光滑的曲线贴得最快，n 再大十倍，误差缩到十分之一左右；V 字形够不进尖角，n 大十倍，误差只缩到三成左右；处处是锯齿的那条是魏尔斯特拉斯造的那一类曲线：真正的那条有无穷多项，连续，却没有一处画得出切线，画面和读数取它的前 12 项。金线照样一层层贴进锯齿，只是更慢。右下角比一比 n 时和十分之一的 n 时的误差，看乘上了多少；下一行是理论按同样两个 n 给的倍数：光滑和 V 字形是 n 大时的近似，锯齿那一行只是上界的阶，实测的不必正好是它。