绘图员的样条

在画面上把这十个点上下拖。金线是穿过它们的自然三次样条：一段段三次多项式接起来，接缝处位置、斜率、弯的程度都连着，在两个端点上不弯。冰蓝的梳齿沿法向画出每一处的曲率，梳齿端点连成的线是连着的（在接缝处可能折一下），到两端归零。珊瑚色的是穿过同样这些点的 9 次多项式：它常在两端甩开，点一挪甩得更明显，右上角它的弯曲总量常常是样条的几十上百倍。拖「加一个仍过这些点的起伏」那个滑块：在样条上叠一个在每个点上都是 0 的波，曲线照样过这些点，梳子立刻乱起来；从 0 往哪边拖都一样，起伏越大，右下角的弯曲总量越大，总比样条的大，多出来的正好是起伏自己的那一份（第三行用公式另算一遍）。右下角上面那个等式对过这些点的每一条曲线都成立，多出来的那一份不会是负的，所以过这些点的曲线里，弯得最少的就是样条。这里的弯曲总量是 ∫ s″²，和梳子是两种量法：梳齿画的是曲率，读数是二阶导数的平方积起来；木条在坡度小的地方弯曲的能量差不多就是它。