椭球与双曲面

S 是一个对称矩阵。它的三条主轴互相垂直，画成金、冰蓝、珊瑚三条线，三条主轴上的特征值 λ₁、λ₂、λ₃ 交给三个滑块。三个都是正的，xᵀSx = 1 是一个椭球，沿每条主轴的半轴长 1/√λ：把一个数往大拖，椭球沿那条轴缩短。把 λ₃ 拖到 0，椭球沿珊瑚的轴拉成椭圆柱面；再往下成了负的，它张开成单叶双曲面，有一个细腰，伸向远处。再把 λ₂ 拖过 0，经过双曲柱面，分成背对背张开的两只碗，是双叶双曲面；三个都是负的，曲面上一个点也没有。画面只显示一个固定的球里面的部分：伸到远处的在球面上截断，曲面整个落到球外时也看不见，是不是空集看右下角。右下角从 S 的九个元素解出三个特征值，数出几个正、几个负：是哪一种曲面，只看正的、负的、是 0 的各有几个。打开渐近锥 xᵀSx = 0，看双曲面怎样贴着它张开。