撞墙的级数

金线是在 0 处照着曲线一项项抄出来的多项式，用到 x 的 n 次方。抄 sin x 时，n 越加，贴住的范围（和曲线差不到画面上一个像素的那一段）越往外长，27 次起已经贴满整个画框（读数写成 ≥），再往外也一样，多远都贴得上。换成 arctan x，曲线同样光滑，可滑块拖到底，贴住的范围也只是越来越靠近 1；过了 9 次，1.1 处的误差越抄越大。换到复平面上看：每一点的颜色是误差，每差十倍一条等高线，金线是误差 = 1。arctan 在 i 和 −i 冲到无穷大，这两个坏点离 0 都是 1；n 一加，等高线就向过 ±i 的冰蓝圆圈收拢，所以实轴上也只贴到 1。sin 一个坏点也没有，金线一直往外退，画面跟着往后拉。最后一个选项用同样那些系数算出两个多项式，让它们相除；这时 n 只管系数用到哪一项：分式用到 x 的 4m − 1 次，n 每加 4，m 加 1（最少 1，最多 10）。换到复平面上看，这个分式的坏点（金点）排在 ±i 再往外的虚轴上，绕开了圆；m 一大，它在画面里的实轴上一路贴下去。n 拖到底时，x = 2 处它的误差不到一亿分之一，同样系数的级数却差了一百多亿。墙只属于从一点抄、一项项往上加的抄法。