なぜ正方形なのか
複素数として微分できる関数を解析関数という。解析関数は、導関数が 0 でないところで角度を保つ。輪と放射状の線は logf=log|f|+iargf の実部と虚部の等高線なので、f が 0 でも無限大でもないところでは直角に交わり、同じ刻みで引けば間隔もそろう（コーシー・リーマンの方程式）。だから絵がどれほど曲がっても、小さな格子はほぼ正方形のままだ。格子が密集しているところでは、logf の導関数の絶対値が大きい。
最初のコマを描いています…
「数学 × シェーダー」No.01 · リアルタイム図版
複素解析
複素関数の幾何をめぐる五枚の図版。どのコマも、見ているその場でブラウザが一画素ずつ計算する。平面に塗り広げた関数の色、その動きを射影するとメビウス変換になる球、曲がった鏡を一枚含む万華鏡が敷きつめる双曲平面、z2+c のジュリア集合と、それらを一望する地図になるマンデルブロ集合、そして四つの円での反転があとに残す、円の中の円。
図版 I · 全 4 楽章 · 1:00 のループ
平面の各点 z を、値 f(z) で塗る。色相はその値の向き、つまり argf で、f(z) が正の実数になるところは金色、負の実数になるところは氷のような青になる。輪は |f| が一定の曲線で、一本ごとに同じ倍率で大きくなる。放射状の線は argf が一定の曲線で、一本ごとに同じ角度ずつ回る。二つの刻みがそろえてあるので、平面はほぼ正方形の小さな格子に切り分けられる。輪は |f| が増える向きへ、放射状の線は argf が増える向きへゆっくり流れる。色相そのものは動かない。
複素数として微分できる関数を解析関数という。解析関数は、導関数が 0 でないところで角度を保つ。輪と放射状の線は logf=log|f|+iargf の実部と虚部の等高線なので、f が 0 でも無限大でもないところでは直角に交わり、同じ刻みで引けば間隔もそろう（コーシー・リーマンの方程式）。だから絵がどれほど曲がっても、小さな格子はほぼ正方形のままだ。格子が密集しているところでは、logf の導関数の絶対値が大きい。
零点も極も通らず、内側に極より悪い特異点をもたない閉じた曲線に沿って、反時計回りに一周する。色が何回めぐるかを、逆向きの回転は負として数えると、内側の零点の数から極の数を引いたものになる。二重の零点や極は二つと数える。これが偏角の原理で、第一の図版ではそれがひと目でわかる。
点 ∞ をひとつ加えると、平面は閉じて球面になる。立体射影は角度を保ち、円を円か直線に移すので、平面全体を一度に見るための自然な方法になる。原点は球のいちばん下、∞ はいちばん上にある。
ポアンカレ円板では、双曲幾何の直線は、円板の直径か、縁と直角に交わる円弧になる。角度は正しく描かれるが、長さはそうではない。縁は中心から無限に遠いので、本当はどれも同じ大きさの三角形が、外へ行くほど画面の上では小さくなる。
z2+c のジュリア集合は、0（写像が平面を二つに折りたたむ唯一の点）の軌道が有界にとどまるときには連結で、そうでなければ塵になる（ファトゥとジュリア）。マンデルブロ集合はそういう c の集合なので、連結なジュリア集合すべてを一望する地図になっている。
群に属するすべての写像をひとつの点に施し、その像がどこに積み重なるかを見る。それが極限集合だ。第三の図版の敷きつめでは円板の縁全体、最後の図版の四つの反転ではアポロニウスのギャスケット、鏡をどの二枚も接しないところまで縮めるとカントール集合になる。
恒等変換を除けば、メビウス変換 z↦(az+b)/(cz+d) は球面の点をひとつかふたつ固定する。ふたつのときは、ほかの点がそのまわりを巡るか、一方から他方へ流れるか、らせんを描いて流れるかによって、楕円型・双曲型・斜航型に分かれる。ひとつのときは放物型である。
どのメビウス変換も、第二の図版が見せるやり方で得られる。平面を球面へ射影し、球の頂点を平面より上に保ったまま剛体として動かし、ふたたび平面へ射影する（アーノルドとログネス「Möbius Transformations Revealed」、Notices of the AMS、2008 年）。