为什么是方格
有复导数的函数叫解析函数，它在导数不为零的地方保持角度。圆环与射线分别是 logf=log|f|+iargf 实部与虚部的等值线，所以在 f 既不为零、也不为无穷的地方，它们互相垂直，按相同步长取线时间距也相同（柯西–黎曼方程）：无论画面弯曲得多厉害，细小的格子都近似为正方形。格子挤得越密的地方，logf 的导数的模越大。
正在绘制第一帧……
「数学 × 着色器」No.01 · 实时图版
复分析
五张图版，讲复函数的几何，每一帧都在你的浏览器里逐像素实时计算：函数铺在平面上的颜色；运动之后再投影、恰好给出全部莫比乌斯变换的球面；由一面镜子弯曲的万花筒反射铺满的双曲平面；z2+c 的朱利亚集，以及作为它们总图的曼德博集；对四个圆反复作反演后留下的圆中之圆。
图版 I · 4 段 · 1:00 循环
平面上每一点 z 都按 f(z) 的值着色。色相表示这个值的方向，即 argf：f(z) 为正实数处是金色，为负实数处是冰蓝色。圆环是 |f| 取定值的曲线，一圈比一圈大同一个倍数；射线是 argf 取定值的曲线，一条比一条多转同一个角度。两种步长相互匹配，于是平面被切成一个个近似正方形的小格。圆环朝 |f| 增大的方向缓缓移动，射线朝 argf 增大的方向移动；色相本身不动。
有复导数的函数叫解析函数，它在导数不为零的地方保持角度。圆环与射线分别是 logf=log|f|+iargf 实部与虚部的等值线，所以在 f 既不为零、也不为无穷的地方，它们互相垂直，按相同步长取线时间距也相同（柯西–黎曼方程）：无论画面弯曲得多厉害，细小的格子都近似为正方形。格子挤得越密的地方，logf 的导数的模越大。
沿一条闭合曲线逆时针走一圈，曲线不经过零点和极点，内部除极点外也没有别的奇点；数一数颜色轮换了几周，反向轮换记为负：得到的就是曲线内零点的个数减去极点的个数，二重的零点或极点算两个。这就是辐角原理，第一张图版让人一眼就能看出来。
添上一个点 ∞，平面就合拢成一个球面。球极投影保持角度，把圆变成圆或直线，所以它是一眼看全整个平面的自然方式：原点在球的最低点，∞ 在最高点。
在庞加莱圆盘里，双曲几何的直线是过圆心的直径，以及与边缘成直角的圆弧。角度画得准确，长度则不然：边缘离圆心无穷远，所以镶嵌里大小都相同的三角形，越往外在画面上显得越小。
z2+c 的朱利亚集连通，当且仅当 0 的轨道有界（0 是这个映射把平面对折的唯一一点）；否则它就是尘埃（法图与朱利亚）。曼德博集正是这些 c 组成的集合，所以它可以同时充当所有连通朱利亚集的总图。
把一个群里的所有变换都施加到一个点上，看这些像在哪里堆积：那就是极限集。对第三张图版的镶嵌来说，它是圆盘的整条边缘；对最后一张图版的四个反演来说，它是阿波罗尼奥斯垫片；把镜子缩小到两两不相切，它就成了康托尔集。
除恒等变换外，每个莫比乌斯变换 z↦(az+b)/(cz+d) 都在球面上固定一个或两个点。有两个不动点时，按其余各点是绕着它们转圈、从一个流向另一个，还是从一个螺旋着流向另一个，分为椭圆型、双曲型和斜驶型；只有一个不动点时，是抛物型。
每一个莫比乌斯变换，都能按第二张图版演示的方式得到：把平面投影到球面上，让球做刚体运动（球顶始终在平面上方），再投影回平面（阿诺德与罗格内斯，《Möbius Transformations Revealed》，《美国数学会通讯》，2008）。