対称は「動作」である
この映画は、対称を性質としてではなく動作として描く。図形に何かをして、それでも見た目が変わらないこと。正三角形にはそういう動作がちょうど六つある。回転が三つ、裏返しが三つ。それらを見分けられるのは、頂点の番号だけだ。
最初のコマを描いています…
日本語で書き終えたのは、いまのところIV 群のかたちだけ。残りの章は、当面英語版で。
リアルタイムの映画 · 1:09
対称性をめぐる短編
三角形の六つの対称から「モンスター」まで、群論をめぐる七つの小品。録画したコマは一枚もない。すべてのコマは再生しながらブラウザの中で計算され、あなたの画面の解像度とリフレッシュレートで描かれる。
この映画の絵はすべて生きている。ここから、その絵をプレイグラウンドとして開ける。
この言語ではまだ
この映画は、対称を性質としてではなく動作として描く。図形に何かをして、それでも見た目が変わらないこと。正三角形にはそういう動作がちょうど六つある。回転が三つ、裏返しが三つ。それらを見分けられるのは、頂点の番号だけだ。
六つの動作を二つずつ続けると、六×六の表ができる。どの動作も元に戻せるので、どの行にもどの列にも、六つの動作がちょうど一回ずつ現れる。回転を暖色、裏返しを寒色で塗ると、この表は二×二の表が姿を変えたものだとわかる。三角形の群を回転で割ると、位数二の群になる。
群の元一つに点を一つ、生成元一つに矢印を一種類描くと、群はかたちになる。四文字の対称群を隣どうしの入れ替えで生成すると、置換多面体。正二十面体の六十通りの回転を、位数五と位数二の回転で生成すると、切頂二十面体。群の関係式が面になる。a⁵ が五角形、(ab)³ が六角形だ。
第五章では、画面のすべての画素を、万華鏡のように一つの小さな三角形へ折り返し、何回折り返したかを数える。模様はその回数の順に外へ広がる。その回数は、三角形をそこへ運んだ群の元の長さだ。線を曲げて鏡像でなくすと、反射は消え、回転だけが残る。
有限群はすべて単純群から組み立てられる。整数がすべて素数の積であるように。有限単純群の一覧は、およそ五十年と数万ページをかけて二〇〇〇年代に完成した。十八の無限系列と、二十六の散在型の例外。最大のものがモンスターで、その位数は第七章にすべて書き出してある。「ムーンシャイン」の始まりとなった偶然、196884 = 196883 + 1 も添えた。
IV群のかたち