Invariant

说明

片子里从不把对称当成一种性质，而是当成一个动作：对图形做一件事，做完它看上去和原来一样。等边三角形恰好有六个这样的动作——三种旋转、三种翻转；能把它们分开的，只有顶点上的编号。

六个动作两两接着做，填满一张六乘六的表。每个动作都能撤销，所以每一行、每一列里，六个动作各出现恰好一次。把旋转涂成暖色、翻转涂成冷色，这张表原来是一张乔装过的二乘二表：三角形的群除以它的旋转，就是二阶群。

每个群元素画一个点，每个生成元画一种箭头，群就成了一个形状。四个字母的对称群，用相邻对换生成，是置换多面体；正二十面体的六十种转法，用一个五阶转动和一个二阶转动生成，是截角二十面体。群的关系就是面：a⁵ 给出五边形，(ab)³ 给出六边形。

第五章像万花筒那样，把屏幕上每个像素都折回一个小三角形里，并数一数折了几次。图案按这个次数由内向外生长——这个次数，就是把三角形送到那里的群元素的长度。把线条弯一弯，让它们不再互为镜像，反射就消失了，只剩下旋转。

每个有限群都由单群搭成，就像每个整数都是素数的乘积。所有有限单群的清单，花了大约五十年、几万页论文，在 2000 年代完成：十八个无穷家族，外加二十六个散在的例外。最大的是魔群，它的阶在第七章里完整写了出来；一起出现的，还有开启「魔群月光」的那个巧合：196884 = 196883 + 1。