球面の三角形

球面の上で金色の三つの頂点をドラッグする。三辺はどれも大円の弧で、三つの角は白い小さな弧で示される。右下の一行目は三つの角の和から π を引いたもの（ラジアン）、二行目は頂点の位置から別に計算した面積である。単位球の曲率はいたるところ 1 なので、この二つの数はいつも一致する。頂点を寄せると三角形はほとんど平らで、角過剰はほぼ 0 になり、囲む面積が大きいほど角過剰も大きくなる。二つの頂点を重ねると三角形ではなくなり、三行とも「—」になる。次に「ベクトルが三角形を回った割合」を 0 から 1 までドラッグする。金色の接ベクトルが A を出発し、A → B → C と三辺に沿って平行移動していく。通ったあとに並ぶ白い短い線は、途中の各点でのベクトルの姿である。一本の辺を進むあいだ、ベクトルとその辺のなす角は変わらない。頂点では辺が向きを変えるが、ベクトルは向きを変えない。それでも A に戻ると、出発したときのベクトル（水色）とある角だけずれている。A にはその角が金色の弧で示され、三行目にその値が出る。一周した向きに沿って測るので、π を超えることもある。これもまた同じ数である。単位球の上では、角過剰も、面積も、平行移動で一周したときに回った角も、同じひとつの数である。