Chance

序幕

1. 0:00一颗球落在哪儿，没人说得准；一千颗落下去，每次都堆成差不多的样子。

I高尔顿板

1. 0:10这一颗，会落在哪儿？
2. 0:12每碰到一颗钉，往左往右，机会各一半，像抛一次硬币。
3. 0:18它往右七次，落进七号格。另外三颗，走了别的路：事先，谁也说不准。
4. 0:26落进哪一格，只看往右几次，和先左先右无关。
5. 0:31每条路的机会一样，所以只要算出通到每一格的路有几条。
6. 0:36通到最边上的只有一条；越往中间，路越多，球也落得越多。
7. 0:43每一颗，还是说不准。
8. 0:45可是落得多了，每一格占的比例，会稳在路数的比例附近：有的高一点，有的低一点，但通常靠得很近。
9. 0:55正中一格占了两成多，和算出来的差不多。
10. 0:59从这里起，画的是算出来的机会，不再是球。
11. 1:03排数一次次翻倍，再把变宽的板缩回来：柱子越来越细，顶端连成一条光滑的曲线。
12. 1:12许多次互不相干的往左往右，加在一起，就接近这条钟形曲线。

II随机游走

1. 1:20一直这样乱走，会走到哪儿去？
2. 1:23把球的路横过来看，这就是随机游走。
3. 1:26走一百步，大多数离起点不到十步；走四百步，不到二十步。
4. 1:33散开的宽度，跟着步数的平方根变大。
5. 1:36换个问题，不看此刻在哪儿，看每一条游走，一共有多少时间待在零以上。
6. 1:43硬币是公平的，直觉会说：该是一半时间在上面，一半在下面。
7. 1:50结果恰恰相反：上下各占一半的最少见，最常见的是一边倒。
8. 1:56四成多的游走，超过九成的时间待在同一边。运气不会轮流来。
9. 2:02平面上一个人，每一步随便往上下左右走一格。
10. 2:07步数越来越多，他走出的范围，却只跟着步数的平方根变大。
11. 2:13格子看不清以后，这条路曲曲折折的样子，看上去仍然相似。
12. 2:19他最后停在哪儿，仍然说不准。
13. 2:22四千个人同时这样走。每个人的路都没有规律，人群却铺成一团规整的云：中间最密，往外慢慢变淡。
14. 2:32就像铁板上一个点受热，热往四周散开；云也跟着时间的平方根变大。

III布丰投针

1. 2:42乱扔的针里，怎么会有 π？
2. 2:44地板上画着等距的横线，扔一根和线距一样长的针，它压线的机会是 π 分之二。
3. 2:52反过来，扔得越多，扔的根数乘二、再除以压线的根数，就越接近 π：这一次五千根，得到 3.13。
4. 3:02换个算法，针最多一个交点，所以压线的机会，就是平均交点数。
5. 3:08弯成面条，交点可以有好几个；可面条是一小段一小段针接起来的，各算各的，平均交点只看总长。
6. 3:18所以长度加倍，平均交点也加倍。
7. 3:24最后，把面条闭成一个圆，直径正好等于线距。
8. 3:28落在哪儿，都恰好和横线交两次。
9. 3:32圆周是直径的 π 倍，平均两个交点；针只有圆周的 π 分之一长，平均交点就是 π 分之二，正是它压线的机会。
10. 3:42π，是从圆里来的。

IV随机的弦

1. 3:47随机画一条弦，它比内接正三角形的边还长的机会，有多大？
2. 3:53第一种，圆周上随便取两点，连成弦。第一个点定了，弦要比边长，另一个点就得落在对面三分之一的弧上。
3. 4:03答案是三分之一。
4. 4:06第二种，随便取一条半径，在半径上随便取一点，过这一点画一条和半径垂直的弦。
5. 4:14点落在靠圆心的那一半，弦就比边长。答案是二分之一。
6. 4:20第三种，在圆里随便取一点，当作弦的中点。
7. 4:24中点落进小圆，弦才比边长：小圆的半径是一半，面积只占四分之一。
8. 4:32三种都叫随机，答案却是三分之一、二分之一、四分之一。
9. 4:38问题出在「随机」两个字上：随机地取什么，没说清楚。
10. 4:43换个办法，往桌上扔一把很长的草秆，扔的时候不知道圆在哪儿。
11. 4:49圆截出的弦，一半比边长。
12. 4:52圆挪开、变小，草秆一根不动，还是一半左右。
13. 4:57三种取法里，只有第二种，能让同一把和圆无关的直线，对每个圆给出同一个答案。

V渗流

1. 5:07每根边只有一半左右的机会接通，这张网能从上通到下吗？
2. 5:13每根边各自抛一枚不一定公平的硬币，接通的边连成一团团。
3. 5:18机会往上加，到了百分之四十五，还全是小岛。
4. 5:23在无限大的网上，恰好一半就是门槛：不超过一半，每一团都有限；超过一半，就有一团无限大。
5. 5:33机会接近一半，最大的一团一下子从上连到了下。
6. 5:38停在一半上，往后退着看：这一团到处是洞，大洞里套着小洞，退远了，看上去还是差不多。
7. 5:47它不是实心的一块，也不是一根线，而是介于两者之间。
8. 5:53金色在视野中的占比，从六成多降到不到三成。
9. 5:58从上面倒水，水只能沿着接通的边走。
10. 6:01机会不到一半，这一次，水没渗多远就被困住了。
11. 6:06多开一些边，再倒一次水。
12. 6:09咖啡粉之间的水、树林里蔓延的火，都有这样一道门槛：差一点，过不去；过了它，就连成一片。
13. 6:18这一次，水渗到了最底下。

尾声

1. 6:22一条钟形曲线。
2. 6:24一个平方根。
3. 6:26一个 π。
4. 6:28一把草秆截出的一半。
5. 6:30一道恰好在一半的门槛。
6. 6:32每一次都说不准。秩序不在某一次里，在许多次里。