中文 6:12 · 完整版 English 6:01 · 完整版 日本語 6:20 · 完整版 「数学 × 着色器」No.00 · 实时渲染短片 · 6:12
Invariant 一部关于对称的短片
七个短章讲群论：从等边三角形的六种对称，一直讲到魔群。画面全部由代码逐帧计算生成；在网站上观看时，每一帧都在你的浏览器里实时绘制。
片长 6:12
章节 七章，加上序幕和尾声
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录制帧数 0
语言 English · 日本語 · 中文 章节 · 0:00 序幕 等边三角形转了三分之一圈，看上去什么都没变。 I 0:15 I 什么是对称 三种转法、三种翻法：能让等边三角形看上去不变的动作，只有这六种。 II 0:45 II 什么是群 三角形的对称，先做一个再做一个，结果仍是一个对称。结果排成一张表，能按转和翻缩成 2 × 2。一组东西加上合成的办法，满足四条公理，就是一个群。 III 1:49 III 先转还是先翻 先转再翻和先翻再转，结果不同。结果与先后顺序无关的群，叫阿贝尔群；三角形的群不是。 IV 2:11 IV 群的形状 把群画成点和箭头，每一种面对应一条规则；再讲单群，以及一般五次方程为什么没有求根公式。 V 3:36 V 铺满平面 一个含 30° 角的直角三角形，以三条边为镜反复反射，铺满了整个平面。在两个方向上周期重复的图案，按对称来分只有十七类。 VI 4:12 VI 对称与守恒 对称也可以是连续的：从钟面到圆，再到球。诺特证明，物理规律的每一种连续对称，都对应一个守恒量。 VII 5:05 VII 对称的原子 有限单群：十八个无穷家族，二十六个例外；例外里最大的一个，是魔群。 · 5:57 尾声 万物都在动，总有些东西不变。 说明 把对称看作动作 本片不把对称看作一种性质，而是看作一个动作：把图形整体移动，不拉伸、不弯折，移动后恰好落回原来的轮廓。等边三角形恰有六种这样的动作：三种旋转（包括不转）、三种翻转。它们做完之后看上去毫无分别，只能靠贴上去的记号区分（顶点编号、小箭头、翻面后的底色）；这些记号只用来追踪动作，不属于图形本身。
群的乘法表：每行每列都不重复 六个动作两两先后做，结果填满一张 6 × 6 的表，也就是这个群的乘法表（群里把「先后做」叫作乘）。每个动作都能撤销，所以每一行、每一列里，六个动作都恰好出现一次，这样的表叫拉丁方。把旋转涂成暖色、翻转涂成冷色，就会看出这张表其实是一张放大了的 2 × 2 表：旋转和旋转、翻转和翻转相乘都得旋转，旋转和翻转相乘得翻转。三角形的群「除以」它的旋转，得到的是只有两个元素的群。
凯莱图：用点和箭头表示群 每个群元素画一个点，每个生成元画一种颜色的箭头，群就有了形状。四样东西的全部 24 种排法（对称群 S₄），用编号相邻的两样东西对调来生成，画出来是置换多面体；正二十面体的 60 种转动，用「转 1/5 圈」和「转半圈」两种转动生成，画出来是截角二十面体，也就是足球的形状。群最基本的几条关系（片中说的「规则」）画出来就是面：每个五边形都是 a⁵ = e，每个六边形都是 (ab)³ = e。换一组生成元，画出来的形状也会变。
万花筒 第 V 章像万花筒那样，把屏幕上每个像素都折回同一个小三角形里，并记下折了几次。图案按这个次数由内向外展开；这个次数，就是把小三角形送到那个位置的群元素的「长度」，也就是最少要反射几次。把线条弯一弯，图案就不再和自己的镜像重合：反射没有了，只剩下旋转和平移。
诺特定理 第 VI 章后半说的对称，是物理规律的对称：严格地说，是一个叫作「作用量」的量（系统的运动方程由它推出）在一族连续的变换下保持不变。诺特在 1918 年证明，这样一族变换里每一个独立的方向，都对应一个在运动中守恒的量：时间平移对应能量，三个方向的空间平移对应动量的三个分量，三个独立的转动对应角动量的三个分量。只能一格一格挪的对称（比如晶体的周期排列）用不上这个定理；依赖任意函数的局域对称（如规范对称）属于诺特第二定理，给出的是运动方程之间的恒等式。
有限单群的分类 每个有限群都能一层层拆下去，最后拆成单群，就像分子由原子组成；而且和化学一样，同样的原子也能搭出不同的分子（C₄ 和 C₂ × C₂ 由同样的两块搭成）。有限单群的完整清单是：十八个无穷家族，外加二十六个例外（散在单群）。证明这份清单一个不漏，前后花了大约五十年、几万页论文，到 21 世纪初才完成。例外里最大的是魔群，它的阶（元素的个数）在第 VII 章里一位不落地写了出来；一起出现的，还有开启「魔群月光」的那个发现：196883 + 1 = 196884，而 196884 恰好是数论里 j 函数的一个系数。1992 年，博赫兹证明了这不是巧合。
旁白稿 序幕
0:00 一个等边三角形，绕中心转过三分之一圈。 0:05 每个顶点都换了位置，三角形却还在原处，分毫不差。这部短片讲的，就是这种不变。 I 什么是对称
0:17 对称，就是把图形整个移动：不拉伸、不弯折，正好落回原来的轮廓。 0:25 可以转三分之一圈、三分之二圈；转满一圈，等于没转。 0:31 也可以沿三条对称轴之一翻过来；对称轴固定不动。 0:36 这六种正好是三个顶点的全部排法。 0:40 不转也算一种：再不对称的图形，也至少有这一种。 II 什么是群
0:48 先翻再转，合起来正好是一次翻转。记号从右往左读。 0:55 每步都落回轮廓，合起来仍是六种之一。 1:00 分先后，同一种也能做两次：结果排成六乘六的表。 1:05 动作都能撤销，所以每行每列里，六种都恰好出现一次。 1:11 转两次、翻两次，都是转；一转一翻，不论先后，都是翻。 1:19 三个转动自成一个群；表按转和翻缩成二乘二，这两类又组成一个群。这就叫把群拆开。 1:29 e 和 s 也组成一个群；按它分块，表却缩不成。有小群，不等于拆得开。 1:38 一组东西加上合成的办法，满足这四条，就是一个群。结合律讲的是：次序不变，先合哪两个，结果都一样。 III 先转还是先翻
1:52 先转再翻，先翻再转，对称轴都不动。 1:57 同样两步，结果却是两种不同的翻转。 2:01 任意两步交换先后都一样的群，叫作阿贝尔群。三角形的群不是，拆出的两块却都是。 IV 群的形状
2:14 每个点是一种对称。沿金线走一步，再转一格；沿蓝线，再翻一次。 2:22 翻过的那一圈，金箭头反着绕：先转再翻、先翻再转，落点不同。 2:30 三角形的对称，就是顶点的排法；四样东西有二十四种，相连两点只差一次对调。 2:38 对调不共用东西，先后无所谓，就围成正方形；共用一样东西，就围成六边形。 2:46 正二十面体有六十种转法，蓝线是转半圈，每种一个点就是足球。 2:53 金线五步回到原地，金蓝交替六步也一样：每个面，都是其中一条规则。 3:01 它里面有小群，却不能像三角形那样拆开：这叫单群。 3:07 一般五次方程的群，是五个根的一百二十种排法；这六十种转动，正好对应其中一半。 3:15 群要一层层拆成顺序无关的小块，才能开方求根。刚才那块拆不开，顺序又要紧：一般五次方程就没有这样的公式。 3:26 证明这一点的，是阿贝尔；看清为什么的，是十九岁的伽罗瓦。一年后，他死于决斗。 V 铺满平面
3:39 换一个含三十度角的直角三角形，以三条边为镜，一次次反射出去。 3:45 就这样铺满平面。图案的对称构成无穷群：每一块，对应其中一个。 3:53 把图案弯一弯，镜面对称就没了：只剩旋转和平移，成了另一个群。 3:59 在两个方向上重复的图案，按对称来分，只有十七类。 4:05 到了三维空间，周期重复的晶体按对称来分，一共二百三十类。 VI 对称与守恒
4:15 指针一格一格地拨，十二种拨法组成一个群；拨满一圈，等于没拨。 4:22 步子越分越细；再放开刻度，任意角度都能转：对称就连续了。 4:29 球的转动也组成一个群：选任意一根过球心的轴，转过任意角度。 4:35 物理规律也有对称：同一个实验，换个时间、地点、方向，结果都一样。 4:42 埃米·诺特证明：规律的每一种连续对称，都对应一个守恒量。 4:48 整个实验绕哪根轴转都一样，所以总角动量守恒。 4:53 实验早做晚做、差多久都一样，所以总能量守恒。 4:59 整个实验挪到哪里、挪多远都一样，所以总动量守恒。 VII 对称的原子
5:08 有限群都能一层层拆成单群，像分子拆成原子；原子相同，分子却能不同。 5:17 大约一百位数学家，花了半个世纪，才证明这张周期表一个不漏。 5:23 十八个无穷家族，外加二十六个例外。 5:27 最大的例外叫魔群，有这么多种对称动作。 5:31 把它的对称都化成空间里的转动，至少要 196883 维。 5:38 这个数再加一，正好是数论里 j 函数的一个系数；下一个，也是魔群的几个维数相加。 5:47 这层看似异想天开的联系，被称作「魔群月光」。1992 年，博赫兹证明了：这不是巧合。 尾声
5:58 让某样东西保持不变的所有动作，只要每一个都能撤销，一个接一个地做，合在一起就是一个群。反过来，每一个群，也都是某样东西的全部对称。