Noncommutative

非交换几何

五张图版，讲非交换几何，每一帧都在你的浏览器里实时计算。无理绕线：斜率为无理数的直线在环面上永远不闭合，这样的线用任何连续函数都区分不开，于是它们构成的空间换成了两个操作：先做哪个、后做哪个，结果只差一个转角，

U V = e 2 π i θ V U

。霍夫施塔特蝴蝶：在磁场中沿晶格跳跃的电子，两种跳法满足同一个关系；对每一个磁通 p/q 逐行算出它的能量，一条能带里藏着一只小蝴蝶，能隙按霍尔电导着色，它以 e²/h 为单位是一个整数。迹为 θ 的投影：里费尔用圆上的两个函数造出它，沿一条轨道平方之后不变；图版从中截出的块，特征值只有 0 和 1，1 所占的比例是斐波那契数之比。没有路径的距离：孔涅的公式量出一段弧长、两个分布之间的运输距离、中间空无一物的两点之间的距离；谱增长的快慢，又给出环面的维数。素数的热力学：博斯特–孔涅系统的能级是 log n，配分函数是黎曼 ζ 函数，彼此独立的模式是素数，在 β = 1 处发生相变；它的平衡态在单位根上取的值，随着系统降温，从 0 一路移向圆周。每张图版的角上都留着描述画面的那些数，并和画面上量出来的逐项对照。

无理绕线

把正方形的对边粘起来，就成了一个环面；正方形上的一条直线，也就成了绕在环面上的线：每穿过正方形一次，就沿大圆绕一圈，同时绕管子转多少圈，由斜率决定。图版把这条线画两遍：左边平铺在正方形里，右边绕在环面上。斜率是分数 p/q 时，线绕 q 圈后闭合；是无理数时，线永远不闭合，而且会任意接近环面上的每一点。这时，一个连续函数如果在每条线上只取一个值，就只能处处取同一个值：用空间上的函数来描述空间，这个通常的办法看这些线构成的空间，只能看到一个点。阿兰·孔涅的回答是改用算子来描述它。这里用的是平移 θ 和乘上

e 2 π i x

两个操作，它们不再能交换。角上留着描述这条线的数，并和画面上量出来的对照。

图版

说明

为什么是非交换的

一个紧豪斯多夫空间，可以从它上面的连续复函数构成的代数还原出来，而这个代数是交换的。有些空间，比如第一张图版里线的空间，函数太少，没法这样还原。非交换几何照样保留一个代数，只是它不再交换，并把它当作某个空间上的函数来研究。对无理绕线，这个代数就是非交换环面，由满足 $U V = e 2 π i θ V U$ 的 U 与 V 生成。

一个 θ，三张图版

前三张图版，是由同一批整数连在一起的。非交换环面里投影的迹，恰好取遍 0 与 1 之间形如 mθ + n 的值，m、n 是整数（皮姆斯纳与沃伊库列斯库、里费尔）；第三张图版把第一张的转动倒过来，这些值不变，它造出迹为 θ 的那一个投影，又把其余的值取一部分画在一条数轴上。蝴蝶在磁通 α 处的一个能隙，其下方的态所占的比例是 mα + n，也就是对应的谱投影的迹，所以第二张图版的能隙，是由第一张图版那个代数的 K 理论来标记的。

在浏览器里现算

画面上的东西，没有一样是从事先算好的表里读出来的。θ = p/q 时能带的端点，是 D(E) = 4 与 D(E) = −4 的地方，也就是一个周期、一个反周期的 q × q 矩阵的特征值。每一个都靠数出来：把矩阵减去 E 做分解，有几个负的主元，就有几个特征值小于 E；再用二分把每个特征值钉到计算精度以内，不管它和相邻的那个挨得多近，也不必在能量上扫描，因此漏不掉很窄的能隙。在一台笔记本上，整只蝴蝶的 491 行大约要十分之一秒；放大窗口里的行，在前面几段播放的时候，在帧与帧之间算好，算过就留着。

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无理绕线

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在哪里出现

说明

为什么是非交换的

一个 θ，三张图版

在浏览器里现算