两团分布的距离

金色的一团 μ 固定在圆的正上方，冰蓝的一团 ν 在圆上拖，两团各有一个滑块调宽窄；圆的半径取 1。孔涅的距离是这样量的：在所有不太陡的函数 f 里（斜率的绝对值不超过 1），找一个让 f 在 ν 上的平均和在 μ 上的平均差得最多的，最多差多少，距离就是多少。珊瑚色的线就是这样一个 f：圆里面画一圈，右边把圆剪开、展平再画一遍，展开的图上它一段段都是斜率 +1 或 −1 的直线。右下角把距离两边各算一遍：左边是这个差，右边是把 μ 搬成 ν 的最小代价，搬多少乘以沿圆搬多远，再加起来。两个数始终一样。把两团都收窄，距离就接近两个中心之间较短那段弧的长度；把 ν 拖到圆的正下方，这段弧是 π。宽窄不同时，就算两个中心重合，距离也不是 0。