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秩序之下 · No.07 · 实时渲染短片 · 6:34

Curvature

一部关于微分几何的短片

五个短章讲微分几何。一条线在一点上弯多少，是一个数；一张面在一点上弯多少，也是一个数：正的像球，负的像马鞍。曲率在每一处，各不相同；加起来，却有它的秩序：沿一条闭合的线走一圈，切线总是转整数圈；一个球不管怎么捏，总曲率都是 4π；一个甜甜圈，是零。这份秩序不看外形，只看绕了几圈、有几个洞。中间还有每一点的两个弯都一正一负、正好相抵的肥皂膜，和从一点出发、在球的对面重新聚到一起的直路。画面全部由代码逐帧计算生成；在网站上观看时，每一帧都在你的浏览器里实时绘制。

片长: 6:34
章节: 五章，加上序幕和尾声
分辨率: 随播放区域自适应，最高 440 万像素
帧率: 最高为屏幕刷新率，实际取决于设备性能
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语言: 中文 · English

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旁白稿 · 79

序幕
I一条线有多弯
II高斯曲率
III肥皂膜
IV测地线
V总曲率
尾声

图版说明 · 5

I 密切圆

沿一条曲线走，你面朝的方向在转：曲率就是它转得多快， $κ = d θ / d s$ ，即每单位长度转过多少弧度，左转为正，右转为负。每一点上贴得最紧的那个圆叫密切圆，半径是 $1 / | κ |$ ，圆心在法线上；到了拐点，它变成一条直线。这张图版里，密切圆绕着椭圆走一圈，圆心描出渐屈线；曲率画成一把梳子；所有法线同时画出来，挤成渐屈线；最后沿三条闭合曲线，跟着切线各走一圈。角上用弧度记转过的角。

密切圆: κ=dθ/ds,R=1/κ一个点沿椭圆走一圈，椭圆两轴之比是 $1.6 : 1$ 。金色的圆是密切圆，半径 $1 / κ$ ：在长轴两端最小，那里 $κ = 1.6$ ；在短轴两端最大，那里 $κ = 1 / 1.62 \approx 0.39$ 。它的圆心（蓝色）描出渐屈线，一颗四个尖的星。
曲率梳: κ=(x′y′′−y′x′′)/(x′²+y′²)^3/2每根齿是一段法线，长短和它所在那一点的曲率成正比。椭圆变成花生，不再是凸的：在腰上，曲线往另一边弯，曲率是负的，梳齿翻到里面；曲率变号的四个点是拐点。然后花生鼓成一个蛋。
四个顶点: vertices≥4把所有法线都画出来，它们挤成自己的包络，也就是渐屈线；渐屈线的尖正对着顶点，即曲率比两边都大、或比两边都小的点。蛋有四个，圆角三角形有六个，圆角方形有八个。四顶点定理说，任何不自交的闭合曲线都至少有四个顶点：穆霍帕迪亚亚（Mukhopadhyaya）1909 年对凸的闭合曲线证明了它，克内泽尔（Kneser）1912 年推广到所有不自交的闭合曲线。
转角: ∫κds=2πn沿一条闭合曲线跟着切线走一圈，把它转过的角加起来。椭圆是 $2 π$ ，正好一圈；8 字形先右转、再左转，合起来是 $0$ ；里面带一个小圈的蚶线是 $4 π$ 。右边的指示盘把总数一圈圈展开。只要曲线始终光滑、切线始终有定义，任何连续的变形都改不了这个数，所以三条曲线是换上来的，而不是彼此弯过去：这是惠特尼–格劳斯坦定理，1937 年。

II 高斯曲率

用一个过法线的平面去切曲面，截出的是一条曲线，有它自己的曲率。平面转动时，这个曲率在两个极值之间摆动，即主曲率 $κ 1$ 与 $κ 2$ ，服从欧拉公式。两者的乘积 $K = κ 1 κ 2$ 就是高斯曲率：曲面像球那样弯的地方为正，像马鞍那样弯的地方为负。高斯 1827 年证明，不用离开曲面，只凭面上的长度就能求出 $K$ ，所以只弯不伸缩，就改不了它。角上读出各个曲率与立体角。

两个曲率: κ(φ)=κ₁cos²φ+κ₂sin²φ在圆环面外侧，过法线的平面转一整圈；金色弧线是截线的密切圆，它的半径在外圈的半径和管的半径之间摆动：两个方向往同一边弯。在环的内侧，两个方向往相反两边弯，每转半圈，金色弧线有两次拉成直线：那一瞬间，截线在这一点不弯。
圆环面: K=κ₁κ₂按 $K$ 着色：外侧是暖色，那里圆环面像球；内侧是冷色，那里像马鞍；顶上和底下的两圈为零，那里的曲面沿着这一圈不往上也不往下弯。探针从外赤道经过顶上，走到内赤道。
高斯映射: K=limΩ/A把每一点送到它的单位法向，圆环面上的一个小圈就变成方向球面上的一个圈。它围出的立体角除以小圈的面积，小圈越缩越小，这个比值就趋向 $K$ 。在外侧，像和小圈绕向相同；到了顶上，像折叠起来，正负相抵；在洞里，像反着绕，比值是负的。
绝妙定理: K=0→K=1平的纸 $K = 0$ ；卷成圆柱，任何长度都不用伸缩，所以圆柱的 $K$ 也是 $0$ 。把同一张纸压到 $K = 1$ 的球上，长度就非变不可：这就是高斯的绝妙定理，也是没有一张平面地图能处处按比例的原因。图中这种压法，纸边上的长度缩短了一半以上。

III 测地线

在一张曲面上一直往前走，从不左拐也不右拐，走出的就是测地线：它的加速度垂直于曲面，沿着法线。测地线是局部最短的路。在球上它们是大圆；在旋转面上它们服从克莱罗关系；在三个轴各不相同的椭球上，从一点出发的测地线折成雅可比描述过的包络，它有四个尖，这一点直到 2004 年才得到证明。角上用弧度量出弧长与角度。

最直的路: γ(s)=cossP₀+sinse三十六条大圆从单位球上的一点向各个方向出发。它们之间按 $s i n s$ 散开，走到四分之一圈时离得最远；走过恰好 $π$ 的弧长，又全部在对面那一点相遇：在球上，每个方向都通向对跖点，过了它，沿大圆的路就不再是最短的。
最短的航线: cosd=sin²φ+cos²φcosΔλ两座城都在北纬 45°，经度相差 $150 °$ 。沿纬线走，弧长 $1.851$ ；沿大圆走，路线往极地方向拱起，弧长 $1.504$ ，短了将近两成。所以欧洲和北美西部之间的航班，常常从格陵兰上空飞过。
克莱罗关系: ρcosψ=c在旋转面上，测地线始终保持 $ρ c o s ψ$ 不变， $ρ$ 是它到轴的距离， $ψ$ 是它和纬线的夹角。从外赤道以三个角度出发：一条始终留在外侧，夹在 $ρ = c$ 的两圈之间；一条翻过顶上，却穿不过洞；还有一条的 $c$ 比洞的半径还小，一次又一次穿过洞。
雅可比的椭球: x²/a²+y²/b²+z²/c²=1在三个轴各不相同的椭球上，360 条测地线从一点出发。到了另一面，它们开始交叉，挤成一条明亮的包络，即共轭轨迹：一条弯曲的星形线，有四个尖。雅可比在 1840 年代描述了它，并断言从任何一个非脐点出发，它都恰好有四个尖；2004 年，伊藤仁一与清原一吉证明了这个论断。

IV 高斯–博内

在弯曲的面上，三边都是测地线的三角形，三个角加起来一般不是 $π$ ：高斯 1827 年证明，和 $π$ 的差就是它围住的曲率， $α + β + γ - π = \int \int K d A$ 。博内 1848 年把它推广到由任意曲线围成的区域。对一整张闭合曲面，这个定理变成一个计数：总曲率是 $2 π χ$ ，欧拉示性数 $χ$ 对球是 $2$ ，对圆环面是 $0$ 。曲率可以在面上移来移去，却不能凭空产生，也不能凭空消失。角上用弧度把角与曲率逐一加起来。

角盈: α+β+γ−π=∫∫KdA单位球上一个三角形，三边都是大圆弧，从一个几乎是平的小三角形张开到约占球面的六分之一。内角和从比 $π$ 多一点点（和平面上差不多）增大到 $5.3146$ ；多出 $π$ 的部分，和按顶点位置另算的面积，四位小数完全一致：在 $K = 1$ 的球上，围住的曲率就是面积。
平行移动: Δθ=∫∫KdA一个向量绕着三角形平行移动，一路不转，在球面允许的范围里尽量和自己保持平行；沿每条边（都是大圆）走时，它和边的夹角不变。回来时它转过了 $2.1730$ ，正是三角形的面积。沿巴黎所在的北纬 $48.85 °$ 纬线走一圈，它回来转过 $1.5523$ ，是纬线以北那块球冠的面积，也就是反方向转了 $2 π s i n φ$ ：傅科摆的摆动平面在一个恒星日里转过的角度。
总曲率: ∫∫KdA=4π球上鼓起四个包，陷下两个坑。包顶上 $K$ 升到将近 $6$ ，包的四周曲面变成马鞍，那里 $K < 0$ ；颜色跟着 $K$ 变。不管包鼓得多高，顶上多出的曲率都在四周还了回去：角上每一帧在曲面上取 3456 个点，按各自代表的面积把曲率加起来，总数始终是 $4 π$ 。
一个柄: ∫∫KdA=2πχ圆环面有一个柄， $χ = 0$ 。从外赤道向上下展开的一条带，攒起正的曲率 $4 π s i n v$ ，盖满外半边时，正好一整个球那么多；再翻过顶上进入洞里，又攒起同样多负的曲率，合起来是 $0$ 。有 $g$ 个柄的闭合曲面， $χ = 2 - 2 g$ ，总曲率是 $4 π (1 - g)$ ，不管是什么形状。

V 极小曲面

如果对曲面上任何一小块做任何微小的改动，都不能让面积变小，这张曲面就是极小曲面。默尼耶 1776 年证明，这等价于平均曲率为零， $H = (κ 1 + κ 2) / 2 = 0$ ：每一点往一边弯多少，就往另一边弯多少。肥皂膜就是极小曲面，所以普拉托花了多年把铁丝框浸进肥皂水里；拉多和道格拉斯在 1930 年前后证明，任何一圈不自交的闭合铁丝都张得出一张极小曲面。这张图版里，两个环之间的膜被拉到断开；悬链面的两个主曲率被一一量出；悬链面被弯成螺旋面；恩内佩尔曲面从一个小圆盘长出来。角上量出面积与曲率。

肥皂膜: r=acosh(x/a)两个半径为 $1$ 的环被拉开，它们之间的膜是悬链面，腰越收越细。环距超过 $1.0554$ 以后，它的面积已经比它能塌成的两片圆盘还大，却仍然撑着，因为附近没有面积更小的形状。到了 $1.3255$ ，再没有悬链面能张在两个环之间，膜断成两片平的圆盘，也就是戈尔德施密特 1831 年描述的解。
平均曲率为零: κ₁+κ₂=0在悬链面上，经线是一条悬链线，弯向远离轴的一边；沿纬线方向切下去的法截线弯向轴，弯得正好一样多。金色和蓝色的圆是这两条主截线的密切圆，半径都是 $c o s h 2 v$ ，分在两侧；离开腰部以后，纬线方向的截线就不再是纬圈本身。探针沿一条经线走，角上的平均曲率始终是 $0$ ，而高斯曲率 $K = - 1 / c o s h 4 v$ 处处为负。
悬链面变螺旋面: X_θ=cosθC+sinθH沿一条经线（金色的边）剪开，悬链面不伸缩地弯成螺旋面，再弯回来：这一族里的每一张 $X θ$ 都是极小曲面，长度全都一样， $d s 2 = c o s h 2 v (d u 2 + d v 2)$ ，法向也一样。腰上那一圈拉直成螺旋面的轴。角上量长度和平均曲率偏离悬链面多少：到第四位小数都是零。
恩内佩尔曲面: ∫∫KdA=−4πr²/(1+r²)1864 年，恩内佩尔找到一张由多项式给出的极小曲面。从一个小圆盘长起，它是一个边缘两起两落的马鞍；圆盘的半径超过 $r = \sqrt 3$ 以后，曲面会穿过自己。它的总曲率是 $- 4 π r 2 / (1 + r 2)$ ，趋向 $- 4 π$ ，和悬链面一样：奥瑟曼 1964 年证明，总曲率为 $- 4 π$ 的完备极小曲面只有这两张。