Conformal

プロローグ

1. 0:05ある関数が方眼紙をまるごと曲げる。直線は曲がり、マス目は大きさも向きもばらばらだ。
2. 0:13それでも線は直角に交わる。マス目を細かくするほど、正方形に近づく。
3. 0:19この作品が描くのは、こうして角度を保つ関数だ。

I平面上の数

1. 0:27二本目の軸を立てる。原点の一つ上が i。
2. 0:32複素数 3 + 2i は、右へ 3、上へ 2 進んだ点で、長さと向きをもつ矢印でもある。
3. 0:41複素数を足すと、どの点も同じ向きに同じだけ動く。平行移動だ。
4. 0:47i を掛けると、1 は反時計回りに直角回って i へ。もう一度で、i · i = −1。平面全体も、同じように回る。
5. 1:000 でない複素数を掛けると、平面はその角度だけ回転し、その長さ倍に伸縮する。長さは掛け算、角度は足し算、方眼は方眼のまま。0 では、一点につぶれる。

II関数を色で描く

1. 1:19実関数は曲線で表せる。複素関数は入出力とも平面で四次元、曲線では表せない。
2. 1:28出力の色は向きだけを表す。外の輪ごとに、長さは一定の倍率で増える。輪と放射状の線で、ほぼ正方形のマス目。
3. 1:40入力の平面では、各点を行き先の色で塗る。z − 1 なら、色の中心は 1 へ。値が 0 になる点だ。
4. 1:50マス目が密なほど、値は倍率で見て急に変わる。
5. 1:55z³ − 1 では色が三点に集まる。値 0 の点、零点だ。反時計回りに小さく回ると、色の順は出力の原点と同じ。
6. 2:08さらに z³ + 1 で割る。分母だけが 0 の三点では、同じ向きに回ると色が逆順。近づけば値は限りなく大きい。これが極だ。
7. 2:21引き戻した輪と線も、数点を除けば直角に交わる。零点で線が集まるのは、出力の原点に写るからにすぎない。

III角度を保つ

1. 2:34どんな関数が直角を保つのか。複素微分できる関数だ。小さく h 進むと、値の変化はどの向きでも、同じ複素数かける h にほぼ等しい。
2. 2:48この複素数が微分係数だ。0 でなければ、小さな範囲では回転と伸縮だけ。
3. 2:55回転と伸縮で角の大きさも、矢印 1 から 2 へ回る向きも同じ。微分係数が 0 でなければ、角度を保つ。
4. 3:05なめらかな変換も、拡大すれば線は直線に。マス目はゆがみうるが、複素微分では、全方向に同じ複素数を掛ける。厳しい条件だ。
5. 3:18だから塗り分けた図でも、微分係数が 0 でなければ、小さなマス目はほぼ正方形。
6. 3:25例外は微分係数が 0 の点。z² なら 0 で方向角が二倍に。掛ける数が 0 で高次の項が効く。
7. 3:35これが臨界点。こうした一点が、最終章で絵全体の姿を決める。

IV無限遠点

1. 3:45どの方向でも、遠い点は 1/z で 0 の近くへ。入出力の平面に、無限遠点 ∞ を一点ずつ加える。
2. 3:55球の頂上から照らすと、各点が影を落とす。これが立体射影。影がないのは光源だけ、それが ∞。この一点で、平面は球面になる。
3. 4:09射影も角度を保ち、小さなマス目の影はほぼ正方形。円は円に、光源を通れば直線。∞ の角は頂上で測る。
4. 4:21光源を頂上に保ち、球を動かすと、影はメビウス変換を受ける。どのメビウス変換も、こうして得られる。
5. 4:30逆さにすれば、0 と ∞ が入れ替わり、直線が円になる。球に写し、動かし、影に戻す。∞ も含め、どれも角度を保つ。
6. 4:43球面全体を自身に一対一に写し、どこでも角度を保つのは、メビウス変換だけ。z² は、2 も −2 も 4 に写す。

V円板に収まる無限の平面

1. 4:58平面では正六角形の角は 120°、三枚でちょうど頂点を囲む。正八角形の角は 135° で、三枚は収まらない。
2. 5:09双曲平面なら収まる。正八角形の角を 120° にできる。
3. 5:16円板に写すと、同じ大きさの八角形も、縁に近いほど小さく見える。縁は無限に遠い。進む向きが違えば、近づく縁の点も違う。
4. 5:29この地図は角度を保つが、長さは保たない。双曲平面の直線、つまり最短の道は、縁と直角に交わる円弧か直径に写る。
5. 5:41三角形の三辺が鏡。円を鏡にするのが反転で、内と外が入れ替わる。この円は縁と直交するので、円板は円板に写る。
6. 5:53角の大きさはそのまま、裏返る。別の鏡で映せば表に戻り、二回で初めてメビウス変換になる。映し続けて円板が埋まる。
7. 6:05この二枚の鏡で一回ずつ映すと、双曲平面の平行移動。円板を自身に写すメビウス変換でもある。八角形自体は変わらない。
8. 6:17移動も地図も角度を保つから、裏返さない移動は、ちょうどこれらの変換。

VI円の中の円

1. 6:26大きな円の中に、同じ大きさの円が三つ。四つとも接し合う。どのすき間にも、三辺に接する円が一つだけ入る。入れるほどすき間は増え、きりがない。
2. 6:40内側の円をくり抜くと、アポロニウスのギャスケット。
3. 6:44円の鏡が四枚、三つずつ接点を通り、円と直交する。
4. 6:50反転は円を円に、角を角のまま写す。だから三つの円は自分に写る。接するとは角度 0 のこと。外の円は接したまま、中央のすき間の新しい円に。鏡を組み合わせればギャスケット。

VIIひとつながりか、塵か

1. 7:12関数を繰り返し作用させ、点がたどる位置を軌道という。z² なら、半径 1 の円の内側は 0 へ、外側は無限へ、円上の点は円上に。
2. 7:26定数 c を足す。逃げない点と無限へ逃げる点の境目が、ジュリア集合。c を動かせば、円にしわが寄っていく。明るさは逃げる速さだけを表す。
3. 7:40c が 1/4 を右へ越えると、集合は塵に砕ける。点どうしはつながらず、どの点のそばにも別の点がある。二つや三つには割れない。
4. 7:53ひとつながりか塵か、見るのは 0 の軌道だけ。逃げなければ、ジュリア集合はひとつながり、逃げれば塵だ。0 が特別なのは、微分係数がそこで 0 だから。平面で唯一の臨界点。
5. 8:09同じ速さで逃げる点を結ぶと、等ポテンシャル線。初めて 8 の字になるのは、角度を保たない 0 だけ。直角は平角に開き、c でなめらかな線に写る。
6. 8:230 が逃げればちぎれ、0 に行き着く点で分かれ続ける。逃げなければ、輪のまま。
7. 8:31今度は c の平面。0 が逃げない c を黒く塗ると、マンデルブロ集合。ジュリア集合の見取り図だ。c が集合に入れば、ジュリア集合はひとつながり。外へ出れば塵。
8. 8:46マンデルブロ集合もひとつながり。証明は角度を保つ別の写像で、円板の外を一対一に集合の外へ写し、同心円を等ポテンシャル線へ。
9. 8:59同心円も等ポテンシャル線もちぎれない。輪を狭めれば集合はひとつながり。

エピローグ

1. 9:07どの絵にも角度を保つ写像。複素微分できる関数は、小さな範囲では回転と伸縮だけ、鏡はさらに裏返す。
2. 9:18それでも絵全体の姿を決めるのは、角度が保たれなくなる、その一点だ。
3. 9:24角度を保つことを、等角という。英語では conformal。