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0:00 / 6:43序幕

秩序之下 · No.06 · 实时渲染短片 · 6:43

Chance

一部关于概率论的短片

五个短章讲概率论。一颗球往左还是往右，一步往哪儿走，一根针压不压线，一根边通不通：每一次都说不准。可是许多次放在一起，留下来的东西一点也不随便：一条钟形曲线、一个平方根、一个 π、一把草秆截出的一半、一道恰好在一半的门槛。秩序不在某一次里，在许多次里。画面全部由代码逐帧计算生成；在网站上观看时，每一帧都在你的浏览器里实时绘制。

片长: 6:43
章节: 五章，加上序幕和尾声
分辨率: 随播放区域自适应，最高 440 万像素
帧率: 最高为屏幕刷新率，实际取决于设备性能
预录画面: 无
语言: 中文 · English

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下面这几段片中画面，可以直接在 Studio 里打开，亲手操作。

章节

Studio

这一册的画面，交给你来调：改一个参数，看画面怎么跟着变。

旁白稿 · 69

序幕
I高尔顿板
II随机游走
III布丰投针
IV随机的弦
V渗流
尾声

图版说明 · 5

I 高尔顿板

弗朗西斯·高尔顿在 1873 年造了这块板，用来演示秩序怎样从随机里显出来。每碰一颗钉，球往左往右的机会各一半；格子从左边的 $0$ 号编起，所以球落进几号格，就是它往右了几次： $k = b 1 + b 2 + \dots + b 12$ 。一共有 $212 = 4096$ 条机会相同的路，其中 $(12 k)$ 条通到 $k$ 号格。球落得够多，各格所占的比例就稳在 $(12 k) / 4096$ 附近；排数再加，轮廓就向钟形曲线收拢。角上把落定的球一颗颗数下来。

往左还是往右: k=b₁+b₂+⋯+b₁₂先放一颗球，慢慢落。十二颗钉，每碰一颗就往右或往左，角上一路记下它的路径：R 是往右，L 是往左。它往右七次，落进 $7$ 号格。随后又有九颗跟着落下。
数路: P(k)=12k/2¹²每颗钉上的数，是通到这颗钉的路有几条，等于它左上、右上两个数之和，所以钉上排出的是帕斯卡三角；钉与钉之间的每段线，亮度表示球走这一段的机会。金色的线，是 $4096$ 条路里通到 $7$ 号格的那 $(127) = 792$ 条。
上千颗球: N_k/N→12k/2¹²一千四百颗球，各走各的路。蓝色轮廓画的是期望，也就是已落的球数 $N$ 乘以每一格的机会；球堆贴在它附近，落的球越多，按比例看贴得越近：这就是大数定律。
钟形曲线: nk/2ⁿ≈√2/πne^{−2(k−n/2)²/n}排数一次次翻倍，从 $12$ 到 $192$ ，每翻一次就把板缩回来，让分布的宽度保持不变。柱子的面积是每一格的精确机会；柱子越来越细，顶端向金色的曲线 $e - x 2 / 2$ 收拢。棣莫弗在 1733 年发现了这一点；这是中心极限定理的第一个例子。

II 布丰投针

布丰在 1733 年提出这个问题，1777 年发表了答案：往铺着平行木板的地板上扔一根针，它停下来时压在板缝上的机会有多大？针长等于板宽时，答案是 $2 / π$ 。所以扔下的根数乘二，再除以压线的根数，就能估出 $π$ ：只靠扔针和计数，别的什么也不用做。巴比耶 1860 年的证明不需要微积分：把针弯曲或拉长，平均的交点数始终和长度成正比；把它闭成一个和木板一样宽的圆，它总是恰好和板缝交两次。

投针: P=2L/πd针长 $L$ ，木板宽 $d = L$ ，板缝画成一条条横线；压在线上的针变成金色。扔了 $5000$ 根以后，根数的两倍除以金针的根数，和 $π$ 相差约 $0.01$ 。误差只按 $1 / \sqrt N$ 缩小，所以每多要一位准确的数字，就得多扔一百倍的针。
为什么是 π: x≤(L/2)sinθ一根针和线的夹角是 $θ$ ，中点到最近一条线的距离是 $x$ ；它压线的条件恰好是 $x \leq (L / 2) s i n θ$ 。把每根针画成点 $(θ, x)$ ，这些点均匀地铺满一个长方形，金色的点落在正弦曲线下方：这块区域的面积是 $L$ ，长方形的面积是 $π d / 2$ 。
布丰的面条: E[crossings]=2L/πd把针弯成面条，有的面条和线交两次、三次，有的一次也不交。平均交点数却不变：面条的每一小段都是一根小针，各段的平均交点数可以相加。把面条拉长到原来的 $π$ 倍，平均交点数就升到 $2$ 。
闭成圆: L=πd→2把每根面条闭成直径为 $d$ 的圆。不管怎么落，和木板一样宽的圆都恰好和线交两次，所以长 $π d$ 的曲线平均有 $2$ 个交点；按比例推下去，长为 $L$ 的曲线平均有 $2 L / π d$ 个交点：这就是布丰的答案，一个积分也没有用到。

III 随机的弦

约瑟夫·贝特朗在 1889 年提出这个难题，要说明一件事：不说清怎么取，「随机」两个字就没有意义。弦比内接正三角形的边还长，等价于它的中点离圆心不到半径的一半。在圆周上随机取两个端点，三次里有一次是这样；随机取一条半径、再在上面取一点，一半的时候是这样；在圆里任取一点当中点，四次里只有一次。每种取法织出自己的一种纹理，长的弦是金色的。往桌上扔草秆，也就是位置、方向都均匀的长直线，它们截出的弦与第二种取法一致，不管圆多大、放在哪儿。角上把弦一条条数下来。

两个端点: P=(2π/3)/2π=1/3先取一个端点，把三角形转到有一个顶点落在它上面：另一个端点落在对面三分之一的圆周上，也就是金色的那段弧，弦才比边长。一千六百条弦里约三分之一是金色，其余的挤向圆边。
半径上一点: P=(r/2)/r=1/2随机取一条半径，在它上面均匀地取一点，过这一点作垂直于半径的弦。点落在靠圆心的那一半，也就是半径上金色的那一半，弦就比边长：一半的时候是这样。这些弦均匀地铺满圆盘。
圆里一点当中点: P=π(r/2)²/πr²=1/4在圆里均匀地任取一点当中点，画出以它为中点的弦。中点落在半径一半的小圆里，弦才算长，小圆的面积只占四分之一。大多数中点靠近圆边，所以大多数弦是短的，画面中央渐渐空了出来。
扔草秆: dρdφ→P=1/2往桌上扔草秆，也就是位置、方向都均匀的长直线，留下它们截出的弦。杰恩斯在 1973 年指出，三种取法里，只有一种能由同一把和圆无关的直线对每个圆同时给出，就是第二种：一半的弦比边长，圆在原处是这样，挪开、缩小也是这样。

IV 随机游走

从网格上的一点出发，每一步往上下左右之一走一格，机会相同。走了 $n$ 步，游走者通常离起点约 $\sqrt n$ ，所以要走出十倍远，得花一百倍的时间。退远了，格子看不清以后，这条路在每一种尺度上看起来都相似：这就是布朗运动，爱因斯坦在 1905 年借它给出了测定分子数目的办法。几千个游走者像热一样散开，散成钟形的一团，宽度随时间的平方根增长。直线上的游走，每次往上或往下一步，是一场公平的游戏：它的平均位置始终是零，可单独一条游走，却常常几乎整段时间都待在同一边。角上一边走一边量。

一个人: X_n=ξ₁+ξ₂+⋯+ξ_n在格子上先慢慢走六步，然后越走越快，一直走到十万步。画面一边走一边往后退，让 $\sqrt n$ 个格子的距离在屏幕上始终是同样的长度；格子看不清以后，这条路在每一种尺度上看起来都相似：这是布朗运动的自相似。它的颜色随时间的对数，从蓝渐变到金。
一团云: E|X_n|²=n四千个游走者一起从中心出发。理论上，它们的均方距离等于步数，角上量出实测有多接近；这团云像从一点散开的热：底下金色的光是热方程的解，呈钟形，方差和时间成正比。虚线圆的半径是 $\sqrt n$ 。
上上下下: P(|S_n|≤√n)→0.683直线上的游走，按时间画出来：240 条，每条 800 步，每次往上或往下一步。它们向两边散开，蓝色曲线 $\pm \sqrt n$ 与 $\pm 2 \sqrt n$ 是参照，游走可以越过它们；走过一段以后，任何一步看，都有七成左右的游走落在 $\pm \sqrt n$ 以内，理论值是 68%，和图版 I 的钟形曲线一样。
反正弦定律: P(T₊/n≤x)→(2/π)arcsin√x每条游走在零以上的部分涂成金色，零以下涂成蓝色。游戏是公平的，可一条游走待在零以上的时间占比，最可能的却是几乎全部或几乎没有：它的分布，也就是莱维的反正弦定律，形如字母 U。步数趋于无穷时，41% 的游走有超过九成的时间待在同一边；这里 240 条里有 104 条。

V 渗流

渗流问的是：连接都是随机的时候，什么能连在一起。在方格网上，每根边各自以机会 $p$ 接通，彼此独立。凯斯滕在 1980 年证明， $p$ 一越过 $1 / 2$ ，就会出现一个无穷大的团；而恰好在 $p = 1 / 2$ 时，最大的团是一个分形，按普适性，它的维数是 $91 / 48$ 。这里所有的 $p$ 共用同一组随机数：每根边带一个数 $u$ ， $p$ 一超过它，这根边就接通，所以 $p$ 往上加时，边只会接通，团只会合并。最大的团是金色，其余的按色轮着色，越大越亮。角上数着边和格点。

接通的边: P(open)=p网上有 $640 \times 360$ 个格点，画面里看得见的是中间的 $240 \times 135$ 个； $p$ 从 $0$ 升到 $0.45$ 。团不断形成、合并，可最大的一团也只有一千来个格点，不到全网的两百分之一。
门槛: p_c=1/2从 $0.45$ 升到恰好 $1 / 2$ 。最后这几个百分点里，最大的一团从一千来个格点长到超过全网的四分之一，并从上边连到了下边。在无限大的网上，一半正是门槛：过了它，才有一团无穷大。
每一种尺度: D=91/48停在 $p = 1 / 2$ ，画面从 $240 \times 135$ 个格点退到整张网。金色的团里到处是大大小小的洞，放大到哪一级看上去都差不多：临界的团是分形，它含的格点数随网的边长 $L$ 按 $L 91 / 48$ 增长，而不是按 $L 2$ ；这个值在三角晶格上已经证明，方格网上是普适性给出的预言。
水渗到底: θ(p)>0forp>1/2 $p$ 继续升到 $0.56$ ，水从上边倒进来，沿着接通的边一步一步走，第 $518$ 步到达底边。过了门槛，就有一部分格点属于伸向无穷远的那一团，这部分的占比 $θ (p)$ 大于零。