Flow

序幕

1. 0:05大约在 1961 年，气象学家洛伦茨用计算机模拟天气，模型有十二个变量。
2. 0:12为了把中间一段再看一遍，他把打印纸上的数重新输了进去；纸上只印三位小数，机器里存的却更精确。
3. 0:22同一套规则，没有任何随机性；两次起初几乎一样，越算差得越远，最后成了完全不同的天气。
4. 0:32画面上算的不是那个模型，而是他后来为对流写下的三变量方程；同样的事，在它身上也会发生。
5. 0:41规则完全确定，短期也算得准，远期却算不出来：这是为什么？
6. 0:47先换一种看法：把三个变量此刻的值看成一个点，看它在所有可能的状态之间怎样流动。
7. 0:56这部短片讲两件事。一是不解方程，只看这片流动的形状，就能知道最后落到哪里、是哪一类运动；二是起点的值精度有限时，远期为什么算不出来。

I每个状态一个箭头

1. 1:13一个没有摩擦的单摆，接下来怎么动，只看此刻的两个数：偏了多少角度，转得多快。
2. 1:20把它们当作坐标，状态就是平面上的一个点；摆来回一趟，点就绕一圈。
3. 1:28所有状态合起来，叫相空间；这里画的不是摆锤走的路，而是单摆的状态。
4. 1:35方程并不直接说摆会怎么动，只说每一个状态下，两个量变得多快：角度变得多快，就是角速度；角速度变得多快，要看偏了多少角度。
5. 1:48式子里的撇，表示变化的快慢。把这两个变化合起来，就是这一点的箭头：往哪儿变，变多快。
6. 1:57每一点都有一个箭头，连起来，就像一片流动的水。
7. 2:02规则不随时间变：同一个状态，不管什么时候到达，箭头都是同一个。顺着箭头走，就是一条轨道。
8. 2:11能量小的单摆来回摆动，轨道闭成一个圈；能量够大的翻过顶，一直转下去；分界线上的摆，能量刚好够摆到正上方：越靠近越慢，要无限久才到。
9. 2:26翻过顶的，转一圈，状态就重复一次。
10. 2:29所以一个状态只有一个未来，轨道不会交叉。
11. 2:34箭头长度为零的点，叫作不动点：单摆有两个，一个是静静垂在下面，一个是恰好倒立在正上方。
12. 2:44下面那个不动点，附近的轨道绕着它转；上面那个不动点，轨道从两边靠近、又从另两边离开：单摆稍一偏，就倒下来。
13. 2:56四条线看似在这里碰头，其实沿着它们走的点，谁也到不了：不动点自己就是一条停住的轨道。

II不动点附近

1. 3:08离不动点足够近，方程里的弯曲小到可以忽略：偏离量变得多快，近似是偏离量乘上固定的数再相加；这样的数共有四个，这叫线性规则。
2. 3:22这一点的四个数是 0、1、−1、0；a + d 叫迹，ad − bc 叫行列式：迹是 0，行列式是 1。
3. 3:36给单摆加一点摩擦：迹变成负的，行列式还是 1。
4. 3:41摩擦每换一档，就是另一条规则，不是同一个摆的摩擦在变大。
5. 3:46看一小片状态：迹说的是它的面积按比例缩放有多快。迹为负，面积在缩，轨道都往里收；同时还在打转，就成了螺旋，摆幅越来越小。
6. 4:01摩擦再大，就不再打转了。这时有两条直线：线上的箭头顺着线，长短和离不动点的距离成正比；这个比值带上正负号，叫特征值，往里为负，往外为正。
7. 4:17两个特征值是一个二次方程的根：和是迹，积是行列式。行列式为正时，判别式为正，就有这样两条线，运动不打转，这种情况叫结点；判别式为负，运动就打转。抛物线就是两者的分界。
8. 4:36回到没有摩擦的单摆，看它倒立的那一点：行列式是 −1，两个特征值一正一负。
9. 4:45附近的状态沿一条线被吸进来，沿另一条线被推出去；除非恰好落在吸进来的那条线上，最后都会离开。这叫鞍点。
10. 4:56回到垂在下面那一点：迹为 0，行列式为正，对线性规则来说，这是中心。
11. 5:04可这正好在往里收和往外放的边界上：被忽略的那一点弯曲，可能像一丝摩擦，也可能像一丝推力；线性部分一样，结果却可能不同。
12. 5:17单摆这一点确实是中心，靠的是能量守恒。
13. 5:21这张图归纳了线性规则：鞍点、螺旋、结点和中心。
14. 5:27真实系统的不动点，如果落在图上的亮虚线上，光看线性部分就判断不了；参数越过边界，附近的运动就会变样。
15. 5:37在线性规则下，迹还决定面积怎样变：为负就缩小，为零不变，为正就变大。

III极限环

1. 5:49没有摩擦、摆得很小的单摆，轨道是一整族圆：振幅多大，就一直多大，没有哪一圈特别。
2. 5:58轻轻碰它一下，就换成另一个振幅，也一直保持下去。
3. 6:03范德波尔研究电子管振荡电路，在 1920 年代写下这个方程：摩擦不再固定，要看此刻摆到了哪里。
4. 6:12在中间这条带里，摩擦为负，把能量送进来；在带外，摩擦为正，把能量耗掉。
5. 6:20原点附近，迹等于 μ：只要 μ 大于 0，那里的状态就会被往外推。
6. 6:27振幅小的，整圈都在带里，越摆越大；振幅大的，大半时间在带外，失去的能量比得到的多，越摆越小；振幅约为 2 时，一圈下来，得失正好相抵。
7. 6:42还可以证明，闭轨道只有这一条；除了原点这个不动点，从别处出发，都会逐渐趋近它。
8. 6:50振幅由系统自己选定：这叫稳定的极限环。
9. 6:55送能和耗能越强，环就越不像圆：慢慢地挪，猛地一跳；再挪一段，又跳回来。这叫张弛振荡，仍然一圈圈完全重复。
10. 7:07周期也变长了，几乎全花在慢慢挪的两段上。范德波尔和范德马克在 1928 年，用这样的电路模拟过心跳。
11. 7:18在平面上，一条闭轨道就是一道墙：轨道不能互相穿过，里面的出不去，外面的进不来。
12. 7:27看平面上的连续流动：只要规则不随时间变，不动点又只有有限个，那么一直留在有限范围里的轨道，最后只有三种去向：趋向一个不动点、一条闭轨道，或由不动点和轨道连成的回路。
13. 7:44把它反过来用：原点附近往外推，外面的轨道绕一圈回来更靠里，中间围出一条带子，只进不出、没有不动点；不用解方程也知道，里面一定有一条闭轨道。
14. 7:58要在有限的范围里，把相邻的状态一次次拉开、又折回，这样的平面流做不到；第三个维度、随时间变化的外力，或一步一跳的规则，才给了这种可能。

IV被踢的单摆

1. 8:15没有摩擦，单摆的能量不变：每个状态的能量由角度和角速度算出，轨道守着自己那个值，就是能量的等高线。
2. 8:25因为能量守恒，垂在下面那一点附近的轨道才闭成圈：那一点是真的中心。
3. 8:32放进一团相邻的起点：能量不同，绕一圈的时间就不同，这一团被慢慢拉长，绕成一条细丝。
4. 8:42可它在一个方向上压窄多少，另一个方向就拉长多少：形状在变，面积一点没变。
5. 8:50既然面积不缩，这一团就不会被吸进一个点，或压到一个环上；上一章的范德波尔振子，却会把状态收拢到环上。
6. 9:00把单摆改一改：不让重力连续地拉，而是每隔一段时间猛地踢一下，两次之间它自由地转；踢的轻重，看这一刻偏了多少角度。
7. 9:12只在每次踢之前看一眼，由上一次就能算出下一次：运动就由一条一步一跳的规则决定。能量不再守恒；点是一张张快照，不连成线，「不能交叉」管不到它们：多出来的那一维，是离下一次踢还有多久。
8. 9:31再踢得重一些，分界线旁边出现一层散开的点：在这一层里，两个几乎一样的起点，几十步之后就各走各的。
9. 9:41在有限的范围里不停下、不重复，相邻的起点又飞快地分开，这就叫做混沌；它仍然是确定的，面积也仍然不变。
10. 9:53这些贯穿左右的曲线，原本是翻过顶的轨道，现在被踢弯了：踢得轻，大多数都还在，这叫 KAM 定理。
11. 10:03踢得越重，它们一道道破掉：平均每踢一次转过的圈数，如果是简单分数，那一道最先碎成岛链；圈数越难用分数逼近，那一道越结实。
12. 10:16黄金分割最难用分数逼近，圈数和它相关的那一道，最后才破。在那之前，点在上面跳，永不重复，也一直离不开它；这样的曲线不吸引旁边的点，只像墙一样把两边隔开。
13. 10:33数值研究算出，这发生在踢的强度 K 约为 0.9716 时。这以后，混沌的点能慢慢游远，也会再折回来；混沌的海里，仍有规则的小岛。

V奇怪吸引子

1. 10:50流体受热后会翻滚；洛伦茨把描述这种翻滚的方程，截断到只剩三个变量。
2. 10:57三个变量的值合起来，是三维空间里的一个点；它们都是缩放过的量，不是流体里的位置。方程照样给每一点一个箭头。
3. 11:08它远不是对流的准确描述；可方程这么简单，又完全确定，就能产生混沌。
4. 11:15三个不动点都不稳定：中间的原点是鞍点；两边那两个附近的轨道，绕着它们越转越远；这里也没有稳定的环。
5. 11:25这条轨道一直在有限的范围里，却从不停下，也从不闭合：绕一边转几圈，跳到另一边，再跳回来，圈数忽多忽少，永不重复。
6. 11:38规则不随时间变的连续平面流，放不下这种运动；可这里有第三个变量：看似相交的两段，其实一前一后。
7. 11:48这就是序幕的答案：两个几乎一样的起点，平均每过约四分之三个时间单位，距离就翻一倍，按指数增长。增长的快慢 λ 约是 0.906，和第 II 章的特征值一样，也是增长率，只是这里取了平均。
8. 12:07起点的值每多知道一位小数，平均只多换来一段固定的预测时间；短期是准的，可只要精度有限，差别总会长大，直到和整只蝴蝶一样大。
9. 12:20规则完全确定，没有任何随机性；远期算不出来，是因为对初值这样敏感。
10. 12:27再看一小团状态。这个系统有耗散：任何一团的体积，每过一个时间单位，都只剩原来的约百万分之一。
11. 12:37可这一团没有缩成一点，反而铺满了两翼：一般的起点最后都被吸到这上面，所以叫吸引子。
12. 12:45它在一个方向上被拉长，在另一个方向上被压得更扁，再被折回来，叠成无穷多层的薄片；按拉伸与压缩的快慢估计，维数约是 2.06。层层叠叠、又对初值敏感，所以叫奇怪吸引子。
13. 13:04洛伦茨还试过只记 z 的峰值：z 每到一次最高点，就记下这个数。
14. 13:10把相邻的两个峰配成一对，前一个作横坐标，后一个作纵坐标，画成一个点。
15. 13:18这些点落在一条很细的帐篷形带子上：知道一个峰有多高，就能近似算出下一个峰。
16. 13:25陡升的一段把差别拉大；过了顶往下走，又把拉开的范围折回来。又拉又折，这是混沌的来历之一。
17. 13:35下一章换一条更简单的同类规则，它不是从洛伦茨方程推出来的。

VI通往混沌的一条路

1. 13:44最简单的一条：下一个数，是 r 乘 x，再乘以 1 与 x 的差；生态学家梅用它作种群的简化模型。
2. 13:55它和上一章的帐篷一样先升后降、又拉又折，不同的是顶部是圆的。它也是一步一跳的规则，「不能交叉」管不到它：只要一个变量，就足以产生混沌。
3. 14:10r 在 1 到 3 之间，从 0 和 1 之间任何一处出发，都趋向同一个不动点。
4. 14:17分岔图里的每一竖条，对应一个 r：画的是数列算了很久以后，落在哪些值上。横轴不是时间。
5. 14:26r 过了 3，不动点不再稳定，数列在两个值之间来回跳。
6. 14:32再大一点，两个变四个：这时的四条线，是数列每个周期轮流经过的四个值。
7. 14:39往后是八个、十六个，一次次加倍；相邻两段间隔，前一段除以后一段，越来越接近 4.669，这个常数叫 δ。
8. 14:51于是在 r 约 3.5699 之前，已经加倍了无穷多次。
9. 14:56过了这根虚线，对许多 r 值来说，数列再也不进入周期，永不重复；相邻的起点按指数分开，和那只蝴蝶是同一种混沌。
10. 15:08可混沌里还开着有序的窗口：r 过了 1 + √8，三个值又规规矩矩地轮流出现。
11. 15:16再往前，窗口里的周期又一次次加倍：六个、十二个……然后回到混沌。
12. 15:24放大分岔点挤向的那一点，同样的加倍又出现一遍，越放大，越像整张图的缩小版。
13. 15:32费根鲍姆，还有库莱和特雷塞两人，各自独立地发现：换一条单驼峰曲线，只要顶上像抛物线那样圆，不尖，也不比它更平，间隔比也趋向 4.669。
14. 15:46实验里也看到了前几次这样的加倍，量出的比值在 4.3 到 4.7 之间。
15. 15:53通往混沌的路不止一条，这是其中之一；走这条路的一大类系统，守着同一个常数。

尾声

1. 16:02连续运动的方程，给每一个状态一个箭头。不必解出它，看箭头的形状，就知道运动最后会怎样。我们见过的有这几种：落进一个点，绕着一个环，或在奇怪吸引子上永不重复。
2. 16:18混沌时，规则仍完全确定：我们短期算得准，也知道运动一定在那只蝴蝶上；只是起点精度有限，远期在哪一处，说不准。
3. 16:30多一个维度、定时踢一下，或者一步一跳地算，混沌就有了可能。
4. 16:36而在一条通往混沌的路上，一大类系统守着同一个常数。
5. 16:41可是平面上的连续流动，只要规则不随时间变，就放不下混沌。
6. 16:47每一点一个箭头；合起来，就是一片流：Flow。