Spectral

序幕

1. 0:05先是一个圆，边上再套圆，套成一串，各自匀速转圈；最后一个圆上的笔尖，画出一片雪花。
2. 0:14圆越多，曲线越像雪花，尖角越细；可是放大来看，仍只是近似。
3. 0:21这片雪花还有一种记法，是一张清单：列出各个圆的转速、半径和起转角度。
4. 0:28这张清单，叫作它的谱。
5. 0:31这部短片讲的，就是波形和图案怎样拆成圆，谱又为什么值得看。

I一个圆

1. 0:41一个点在圆上匀速转圈，高度随时间画出来，是一条正弦波：波峰到中线的距离，等于半径；转一圈，起伏一次。
2. 0:52一个周期是整段波形走完一遍的时间；转速是一个周期里转几圈：转两圈的，起伏两次。
3. 1:01这里的转速都是整数；负数，表示反着转。
4. 1:06起转角度一变，整条波就左右平移。三个数，定下一个转动的圆：半径、转速、起转角度。

II圆上套圆

1. 1:19圆上再套一个圆，各自转动，角度都从水平方向量起：笔尖的高度，是两段半径的高度相加。
2. 1:28转速取奇数，半径和转速成反比，都从水平向右起转。
3. 1:34圆越多，越像方波：平顶、平底，中间陡然跳变。
4. 1:40只把起转角度打乱，就完全不是方波了；重新对齐，又是方波。
5. 1:46但跳变两侧，曲线总会冲过头一截。
6. 1:50圆再多，这一截也矮不下去，只是越挤越窄、越贴近跳变；跳变以外的每一处，圆够多，就贴近平台。
7. 2:00别的周期性波形，一般也能这样叠出来。这是傅里叶提出的；它在什么条件下成立，是后来的数学家弄清楚的。
8. 2:09按转速列出各个圆多大、从哪个角度起转，就是这条波的谱。
9. 2:15整条波上移，只多出一段不转的：转速 0。

III找回那些圆

1. 2:23反过来，笔从固定的起点，逆时针匀速走一圈；只知道每一刻的横、纵位置，能找回那些圆吗？
2. 2:33三个圆，转速 1、2、5，画出一条曲线；圆的先后调换，笔尖的轨迹不变。
3. 2:41把整张画面放上转盘，以转速 2 反着转，我们站在外面看：转速 2 的圆停住了；其余的，转速看上去都减了 2。
4. 2:52在转盘上，笔走一个周期，把它的位置按时间求平均。
5. 2:57其余的圆都转了整圈，抵消成零；平均只剩停住的那一个：长度是半径，方向是起转角度。
6. 3:06只用笔尖的位置，不必先知道有哪些圆：一个转速一个转速地找；没用到的，平均是零。
7. 3:15这样就拆出了整张谱。
8. 3:17前两章只看高度。一条正弦波，笔只是上下来回：这正是两个一样大、反着转的圆，横向抵消，竖向相加。
9. 3:28所以拆一条波，除了转速 0，找回的圆总是成对的，谱上的竖线左右一样高。
10. 3:36拆出雪花的谱：只有转速 1、−5、7、−11……不为零，都是 6 的倍数加 1。
11. 3:45雪花转 60° 和自己重合；笔匀速走，每过六分之一周期，就到了转过 60° 的那一点。
12. 3:53圆在这段时间里转过的角度，也得对上 60°；对不上的，六段抵消成零。对称在谱上留下了指纹。

IV弦与板

1. 4:06两端固定的理想弦，自由振动的基本方式叫振型：沿着整根弦看，半波依次有 1 个、2 个、3 个……
2. 4:16再盯住一点看，频率是最低频率的 1、2、3 倍，正是那串整数转速：弦乐器的泛音由此而来。
3. 4:26拉起一点，松手：各个振型按自己的频率振动，叠成弦的运动；各占多少，就是这一下的谱。
4. 4:35拨在别处，音高不变，谱和音色却不同；拨在正中间，中点不动的偶数号振型，一个也激不起来：对称又留下了指纹。
5. 4:47板也有一个个振型，各有自己的频率。撒上沙，沙被振开，聚到不动的线上：节线。
6. 4:56真实的板很难算，这里用简化模型：振型记作一对整数 m、n，竖着、横着各几条节线。
7. 5:06沙只显出不动的地方，看不出各处振动多大。
8. 5:10把 (2, 5) 转 90°，就是 (5, 2)；方板转了还是同一块板，两者同一个音。
9. 5:18换几种比例混合，沙图各不相同：音高相同，谱可以不同。
10. 5:24混进别的音，图形随时间变，沙就稳不住。
11. 5:29这个模型里，音高只看 m² + n²；65 有两种写法，四个振型，同一个音。

V晶体与准晶

1. 5:41换到平面上，正弦波沿一个方向铺开，就是一排平行的条纹，叫平面波。
2. 5:48它的谱是中心两侧一对点，如同那对反着转的圆：连线垂直于条纹。
3. 5:55点离中心多远，数的是一段距离里起伏几次：条纹越密，点越靠外。平面图案，一般都能拆成这样的条纹。
4. 6:06两列一样疏密、互相垂直，叠成方格，谱是圈上 4 个点。
5. 6:12三列互成 60°，叠成六角格，谱是圈上 6 个点：图案按格子重复，像晶体。
6. 6:20五列一样强、一样密的波，方向依次差 36°，亮纹在中心对齐：整幅图转 36° 和自己重合，叫十重对称。
7. 6:31平移却怎么也对不上：处处相似，总差一点。这样的图案叫准晶；这幅图的谱，仍只是一圈 10 个点。
8. 6:42为什么总对不上？能平移重复的图案，整体旋转对称只能是 1、2、3、4、6 重。
9. 6:51若能平移重复，就有最短的一步；十重对称下，把它转 36° 也是一步，两者之差却更短：矛盾。
10. 7:01所以十重对称与平移重复，只能二选一。

VI光拆出的谱

1. 7:08单色的平行光穿过小孔，可以拆成朝各个方向走的平面波。
2. 7:14透镜把每个方向的光，收到焦面上的一点：焦面上排开的，就是孔的谱。
3. 7:21单独一个小孔，谱连成一片：圆孔给出中央一个亮斑，叫艾里斑。
4. 7:27光替我们拆好了；可焦面上只看得见亮度，起转角度没有留下。
5. 7:33孔的形状不变，宽度缩小一半，图样就放大一倍。
6. 7:38样子整体缩小，谱就整体放大，这是普遍的规律；方波的跳变越陡，用到的转速也越高。
7. 7:47换成正方形的孔，图样长出四道星芒：对边平行的两条边，共用一条光芒。
8. 7:54三角形看得更清楚：每条边给出一条垂直于它、穿过中心的光芒，两头各一道；三条互不重合，是 6 道。
9. 8:05六边形也是 6 道，五边形是 10 道。
10. 8:09一排等距的细缝，叫光栅：缝距不变，缝越多，亮纹越细，成了一级级亮线。
11. 8:17前面拆的是孔；现在拆光本身：光也是振动，颜色就是振动的快慢。
12. 8:25白光一过，0 级仍是白的，两侧每一级都拆成光谱：振动慢的红光，偏得更远。
13. 8:33光谱的谱，和这部短片的谱，是同一个意思：按频率排开。
14. 8:39孔排成格子，单色光大多聚到亮斑上，斑也排成格子：孔越多，斑越尖；孔越密，斑隔得越开。
15. 8:49晶体里的原子不是孔；它们散射出的 X 射线，也只在某些方向互相加强，给出衍射斑点。
16. 8:58斑点同样只有亮度，缺了起转角度；从斑点推出原子的排列，还要再下功夫。
17. 9:05电子也会衍射。谢赫特曼用电子束照一块急冷的铝锰合金，斑点清清楚楚，呈十重对称。
18. 9:14斑点清楚，说明原子排得很有秩序；可是格子不可能有十重对称。这是一种准晶：有序，却不重复。

尾声

1. 9:26把每个圆多大、从哪个角度起转都记下来，形状和谱，是同一件东西的两面：从一面，能算出另一面。
2. 9:36沙和光斑，都只露出谱的一部分；可凭这一部分，已足以看见藏在下面的秩序。
3. 9:43谱，英文叫 spectrum；这部短片，就叫 Spectral。