Arithmetic

序幕

1. 0:05阳光照进一杯咖啡，液面上常有一道弯弯的亮线，中间一个尖。
2. 0:11这道线不是谁画的：光一根根打到杯壁上，反射回来，反射光挤得最密的地方最亮，就是这道线。
3. 0:20这部短片讲的是数论。这道光，等一会儿还会回来。

I乘法表

1. 0:28圆上排十个点，标上 0 到 9。把每个数连到它的两倍：1 连 2，2 连 4。
2. 0:365 的两倍是 10，圆上没有，绕回来：10 落在 0 上，12 落在 2 上。
3. 0:44像钟表一样，这是一张乘法表，只是超过一圈就绕回来。
4. 0:49点越排越多，还是连到两倍。弦挤在一起的地方亮了起来，亮出一颗心，叫作心脏线。
5. 0:57没有一条弦是弯的：它们挤得最密的地方，连成了这条曲线。
6. 1:03换成乘 3，曲线有两个尖；乘 4，三个尖。
7. 1:08乘数从一个整数滑向下一个时，曲线在一边裂开，新的尖从裂口里冒出来。
8. 1:16一直到乘 10，九个尖，每一次都比乘数少一个。
9. 1:21换一个很大的乘数，242，反倒画出两颗心。
10. 1:26偶数乘 242，和乘 2 落在同一个点；奇数的，落在正对面。
11. 1:32乘 162，是三颗；乘 122，是四颗。大乘数里，藏着小乘数。
12. 1:40灯放在杯沿上：光打到杯壁，反射后的落点，从杯心看，角度正好翻倍，亮出的就是那颗心。
13. 1:50灯往外退，光线越来越平行，心脏线也渐渐变了形。
14. 1:58平行时，角度乘 3、再转半圈：正是开头那道光，乘 3 那张表的一半。

II帕斯卡三角

1. 2:09这是帕斯卡三角：顶上是 1，两边都是 1，中间每个数，是左上、右上两数之和。一行一行加下去。
2. 2:20不看大小，只看奇偶，把奇数点亮：奇加奇是偶，奇加偶是奇，每一格的奇偶，只看上面两格。
3. 2:30写到几百行，一个三角形挖去中间，剩下三个小三角形，每个又是同样的样子。这是谢尔宾斯基三角。
4. 2:40换成除以 3 的余数，整除的暗着。
5. 2:43放大一个小三角形：就是整个三角形，换了一套颜色。
6. 2:48除以 5、7 这些素数，也一样：还是三角形里套着三角形。
7. 2:59回到奇偶来看，行数每翻一倍，新写出的下半截，就是上面整个三角形的两份副本，中间夹一个空洞。
8. 3:08一直这样下去：这个三角形没有底。

III黄金角

1. 3:15种子一颗颗往外放，每颗比上一颗多转半圈：第三颗，就回到第一颗的方向。
2. 3:23每颗也离中心远一点，排成两根辐条。
3. 3:28转三分之一圈，三根辐条；五分之二圈，五根。
4. 3:33分数约到最简，分母就是辐条的根数。
5. 3:37分母不大的分数圈，种子迟早对齐，辐条之间留下大片空隙。这些分数一个比一个接近同一个角。
6. 3:47黄金角，约 137.5 度，是最难用分数逼近的角。
7. 3:52种子不会对齐，缝也不会越拉越宽：宽窄始终差不多，铺得最匀。
8. 3:59向日葵的花盘，大致就是这样排的。
9. 4:03序号差 13 的种子，几乎排成一条线：13 个黄金角，差一点就是整数圈。
10. 4:10再往外，21 条、34 条：都是斐波那契数，每个是前两个之和。
11. 4:17外圈 55 条，前面那些分数的分母，也在这串数里。
12. 4:23137.3 度比黄金角更接近一个分数：裂出 21 道缝。
13. 4:30137.6 度，更近：34 道缝。
14. 4:34离分数多近，图案就是什么样。

IV素数的螺旋

1. 4:42像放种子一样放整数：每个数比上一个多转 1 弧度，比六分之一圈少一点。
2. 4:49所以每隔 6 个数，就回到差不多的方向，又稍稍落后，弯成了 6 条旋臂。
3. 4:57退远一点，6 条乱掉，又排成 44 条。
4. 5:0144 个数，刚好比 7 圈多一点点：离哪个分数近，就排出分母那么多条。
5. 5:08再远，710 条射线：710 个数和 113 圈，只差十万分之一圈。
6. 5:16现在只看素数：比 1 大、只能被 1 和它自己整除的数。
7. 5:216 条旋臂里，除了 2 和 3，素数只走 2 条：另外 4 条上的数，都能被 2 或 3 整除。
8. 5:2944 条里，只走 20 条；710 条里，只走 280 条。
9. 5:35再换一种排法：把数绕成方形的螺旋，把素数点亮。
10. 5:411963 年的一场报告上，数学家乌拉姆听得无聊，随手这么画，发现素数挤在一条条斜线上。
11. 5:50素数看上去没有规律，排起来却处处是秩序。
12. 5:54这一条全是奇数的平方，没有一个素数；那一条，素数特别多。

V零点里的素数

1. 6:04把素数一个个数过去，每遇到一个素数，台阶就跳一级；跳多高，是它的对数。
2. 6:12素数的平方、立方、更高的次方，也跳得一样高。这条台阶，记下了素数落在哪儿。
3. 6:20台阶歪歪扭扭，却大致贴着斜线往上走。
4. 6:24欧拉发现，所有整数造出的这个和，也是所有素数的连乘。
5. 6:29黎曼把它延伸到整个平面，这就是 ζ 函数。
6. 6:34颜色绕一圈、中心暗下去的点，函数值为零，叫零点。
7. 6:43台阶可以精确地写成一条光滑的曲线，加上每个零点的一道波：黎曼看出了它，冯·曼戈尔特证明了它。
8. 6:53零点越高，波起伏得越密。一对一对加上去，金线越来越贴着台阶。
9. 7:05加到几百对，波叠出了台阶的轮廓；用上全部零点，就是台阶本身。
10. 7:12素数落在哪儿，就写在 ζ 的零点里。
11. 7:16带子里的零点，是不是全都在中间这一条线上？
12. 7:20算过的十万亿个以上，全都在。黎曼猜想说，所有的都在；至今没有人能证明。

尾声

1. 7:29弦挤出的心，三角形里的三角形，向日葵的螺线，整数的旋臂。
2. 7:36连看上去最没有规律的素数，也写在一组零点里。
3. 7:40乘、加、取余数、一个一个数下去：这么几条规则，秩序就自己显了出来。