Conformal

序幕

1. 0:05一个函数，把方格纸整个弄弯：直线成了曲线，格子大小不一，朝向各异。
2. 0:12可是交点处，仍是直角；格子越分越细，就越接近正方形。
3. 0:18这部短片讲的，就是这种保持角度的函数。

I平面上的数

1. 0:26竖起第二条轴，原点往上一格，叫作 i。
2. 0:30复数 3 + 2i，是向右 3、向上 2 的点，也是一支箭头：有长度，有方向。
3. 0:38加上一个复数，每一点移动的方向和距离都相同：这叫平移。
4. 0:451 乘以 i，逆时针转过直角到 i；再乘一次到 −1：这就是 i · i = −1。整个平面也这样绕原点转动。
5. 0:56乘以非零的复数，平面就转过这个数的角度，按它的长度伸缩，方格仍是方格；连乘两个数，长度相乘，角度相加。
6. 1:07乘以 0 则不然：整个平面缩成一点。

II给函数着色

1. 1:14实函数画得成曲线；复函数输入、输出都是平面，合起来四维，画不成曲线。
2. 1:23输出平面上，颜色只表示方向；每往外一圈，长度乘同一倍数。环与射线，切出近似正方形的小格。
3. 1:33在输入平面上，每一点 z 涂上 f(z) 的颜色。换成 z − 1，色轮中心落到 1：那里 z − 1 = 0。
4. 1:44格子越密，函数值按倍数变得越快。
5. 1:48换成 z³ − 1，颜色汇到三个点，那里函数值为 0，叫零点。绕零点逆时针一小圈，颜色顺序和色轮一样。
6. 1:59再除以 z³ + 1：分母为 0、分子不为 0 的三个点叫极点。同样绕一圈，颜色顺序相反；靠近它们，函数值趋于无穷。
7. 2:11环与射线带回输入平面，除了个别的点，仍处处直角相交。零点处射线汇聚，只因那是网的中心。

III保持角度

1. 2:24什么样的函数会这样？能对复数求导的函数：走一小步 h，不论朝哪个方向，函数值的变化，都约等于同一个复数乘以 h。
2. 2:35这个复数就是导数。只要它不为 0，这一小块就只是转一下、伸缩一下。
3. 2:42转动和伸缩不改变角度：夹角不变，1 到 2 的转向也不变。导数不为 0 处都如此，这叫保角。
4. 2:52光滑的变换，放大后线都变直，方格却可能拉长、歪斜。能对复数求导，要求各个方向乘同一个复数，严格得多。
5. 3:04所以着色图里，只要导数不为 0，足够小的格子都近似正方形。
6. 3:10例外是导数为 0 的点。z² 在 0 处，方向角都变成两倍：那里乘的是 0，变化由更高次的项决定。
7. 3:20这样的点叫临界点；到了最后一章，它将决定整幅图的样子。

IV无穷远点

1. 3:29四面八方的远处，都被 1/z 送到 0 附近。所以两边的平面，都添上一个点：∞。
2. 3:38从球顶照下来，球面上每一点都投下影子：这叫球极投影。只有灯没有影子，它就是 ∞：平面添上这一点，恰好合成球面。
3. 3:51投影也保角，小格的影子近似方格。圆投成圆，过灯的投成直线；∞ 处的角，在球顶上测量。
4. 4:02让球整个移动，灯始终在球顶：影子作的变换叫莫比乌斯变换，每一个都能这样得到。
5. 4:11把球倒过来，0 和 ∞ 对调，直线也弯成圆。投上去，移动球，再投回来：步步保角，∞ 也不例外。
6. 4:22要把整个球面一一对应地变成自己，又处处保角，只有莫比乌斯变换。z² 不行，2 和 −2 都变成 4。

V圆盘里的无穷平面

1. 4:35平面上，正六边形的角是 120°，三块正好围满一圈；正八边形的角是 135°，三块就挤不下了。
2. 4:46双曲平面里挤得下：正八边形的角可以是 120°。
3. 4:51画进圆盘，八边形一样大，越靠边画得越小。圆周在无穷远，走不到；朝不同方向走远，通向圆周上不同的点。
4. 5:03这幅地图保角，长度却失真。双曲平面的直线，即最短的路，画成与圆周垂直的圆弧或直径。
5. 5:12三角形的三边都是镜子。以圆为镜叫反演，圆里圆外对调；这个圆和圆周垂直，圆盘映回自己。
6. 5:23角的大小不变，却翻了面；再照另一面镜子，又翻回来，合起来才是莫比乌斯变换。一层层照下去，铺满圆盘。
7. 5:34这两面镜子各照一次，合起来是平移，也是把圆盘映成自己的莫比乌斯变换。八边形本身没有变形。
8. 5:43移动不改变角度，地图又保角：不翻面的移动，恰好就是这些变换。

VI圆中之圆

1. 5:53大圆里三个等圆，四个圆两两相切。每个空隙恰好放得下一个圆，与三边都相切；新圆又围出新空隙，永远填不完。
2. 6:05挖去大圆里各个圆的内部，剩下的叫阿波罗尼奥斯垫片。
3. 6:11四面圆镜，各穿过三个切点，在那里和圆垂直，三个圆就各自映回自己。
4. 6:18相切就是夹角为零。反演把圆变成圆，角的大小不变：大圆仍与它们相切，落进中间的空隙成为新圆。四面镜子任意组合，得到整个垫片。

VII一整片还是尘埃

1. 6:36一个函数反复作用，点依次到达的位置叫轨道。z² 让圆里的点落向 0，圆外的飞向无穷，圆上的留在圆上。
2. 6:48加上一个常数 c。始终不逃走的点和逃向无穷的点，分界叫朱利亚集；移动 c，它从圆扭成皱褶的曲线。明暗只表示逃得多快。
3. 7:02c 越过 1/4，朱利亚集碎成尘埃：点点互不相连，每一点旁边却总有别的点。要么连成一片，要么全是尘埃。
4. 7:15是一整片还是尘埃，只看 0 的轨道：不逃走，朱利亚集就连成一片；逃走了，就是尘埃。0 之所以特别，只因导数在这里为零：它是平面上唯一的临界点。
5. 7:31逃得一样快的点，连成等势线。第一次交叉成 8 字形，只能在不保角的 0：直角加倍成平角，交叉才映成光滑的线。
6. 7:420 逃走，就会掐断，再在送到 0 的点上一分再分；不逃走，等势线就始终完整。
7. 7:51换一张图，每一点代表一个 c。把 0 的轨道不逃走的 c 涂黑，就是曼德博集。它是一张总图：c 在里面，朱利亚集连成一片；在外面，就是尘埃。
8. 8:06曼德博集本身也是一整片。证明靠另一张保角映射：把圆盘外一一对应地变成曼德博集外，同心圆变成等势线。
9. 8:16同心圆不会掐断，等势线也就不会；一圈圈收紧，曼德博集只能是一整片。

尾声

1. 8:25每一幅里，都有保持角度的映射：能对复数求导的函数，每一小块里只转一下、伸缩一下；镜子还多翻一下。
2. 8:36决定整幅图样子的，却恰恰是保角失效的那一点。
3. 8:40保持角度，英文叫 conformal。